Iterationsformel von arcsin(1)

Question

Bestimmen Sie eine Iterationsformel xn+1 = l(Xn) zur Bestimmung einer Dezimaldarstellung der Zahl arcsin (1)

Hierbei handelt es sich um das Newton-Verfahren.

Formel: xn+1= xn-(f(x)/f '(x))

Meine Lösung ist :xn+1=  xn- (sin(x)-1/cos(x))

ist das korrekt ?

Bei einer anderen Aufgabe sollte man die Iterationsformel  von √8 bestimmt und die Lösung hierfür ist :

xn+1=xn-(x²-8/2x)

Daran habe ich mich orientiert.

Answer 1

Du hast als Funktion \(f(x)= \sin x - 1\) gewählt. Das ist korrekt. Die Näherung per Newtonverfahren ist in diesem Fall nummerisch sehr instabil, da die Steigung in der Nullstelle zu 0 wird!

Comments

Danke für deine Antwort.

So war die Aufgabenstellung, dass es durch das Newton-Verfahren gelöst werden soll.

In diesem Fall nicht gelöst sondern nur die Iterationsformel bestimmt.

Aber so lange ich die Formel richtig aufgestellt habe bin ich froh :)

Eine andere frage noch :

Selbe Aufgabe nur statt arcsin (1) nehmen wir arccot(1)

Lösung :

xn+1=xn-(cot(x)-1/-csc²(x))

ist das richtig so ?

weil arccot ist ja cot^-1 und die ableitung von cot ist -(1/sin²x) und das kann man ja auch als -csc²x auf schreiben, richtig ?

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ja - ist auch richtig. Zur Schreibweise: wenn die Funktion \(\csc\) im Nenner kannst Du sie als \(\sin\) auch in den Zähler schreiben, das ist gefälliger.

$$x_{n+1}=x_n - \frac{\cot(x_n) - 1}{-\csc^2(x_n)}=x_n+\left( \cot(x_n)-1\right) \sin^2(x_n)$$

Du kannst auch leicht selbst prüfen, ob die Iteration stimmt. Berechne \(\text{arccot}(1)\) mit dem Tachenrechner \(\approx 0,7854\) und setze es in die Gleichung ein. Es muss wieder der gleiche Wert rauskommen. Ändere den Wert ein wenig - z.B.: =0,78 und das Ergebnis muss wieder näher am ursprünglichen Wert liegen.

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Super vielen Dank für deine Hilfe !