Question

Rechenweg, um zur allgemeinen Ableitung der Funktion 1/x^2 mit der h- oder x- methode zu kommen. Danke für eure Hilfe

Answer 1

das geht wie folgt. Allgemein ist:

$$f\prime(x)=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Einsetzen von \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)

$$f\prime(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}}=\lim_{h \to 0}{\frac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{h \cdot (x+h)^2 \cdot x^2}}$$

$$\space = \lim_{h \to 0}{\frac{ - 2x - h}{ (x+h)^2 \cdot x^2}}= \frac{ - 2x }{ x^4}=\frac{-2}{x^3}$$

im letzten Schritt kann man  \(h\) einfach weglassen - bzw. =0 setzen, da keine Division durch 0 oder ähnliches mehr ansteht.

Comments

ich verstehe nicht wie man auf den 2. schritt kommt

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Auf den Hauptnenner \((x+h)^2\cdot x^2\) bringen und ausmultiplizieren.

$$\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}=\frac{\frac{x^2}{(x+h)^2\cdot x^2} - \frac{(x+h)^2}{(x+h)^2\cdot x^2}}{h}=\frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{(x+h)^2\cdot x^2}}{h}$$

$$\space= \frac{x^2 - (x+h)^2}{h \cdot (x+h)^2\cdot x^2}= \frac{x^2 - x^2-2xh-h^2}{h \cdot (x+h)^2\cdot x^2}$$