Kapital Berechnung mittels Zinssatz. 13 Jahre nach der Einzahlung setzte die Bank den Zinssatz auf 1.65% herab.

Question

Ein Vater legt bei einer Bank ein Kapital an, um seiner jetzt achtjährigen Tochter zum 29. Geburtstag ein Startkapital von 345000 GE zu sichern. 13 Jahre nach der Einzahlung setzte die Bank den Zinssatz auf 1.65% herab und der Vater musste zu diesem Zeitpunkt 42907 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern. Berechnen Sie das Kapital, das der Vater ursprünglich angelegt hat. Runden Sie das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.

Kann mir jemand helfen, wie diese Aufgabe funktioniert? Verstehe es nicht.

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Steht in der Aufgabe, zu welchem Zinssatz der Vater das Geld in den ersten 13 Jahren angelegt hat?

Answer 1

Formel ist Endkapital = Anfangskapital · (1 + Zinssatz)^Laufzeit.

Endkapital soll 345000 betragen, Laufzeit ist 29 - 8 = 21 Jahre. Einsetzen in die Formel liefert die Gleichung

(1)        345000 = K₀ · (1 + z%)²¹

Nach 13 Jahre ist das Kapital auf

(2)        K₁₃ = K₀ · (1 + z%)¹³

angewachsen. Durch die Nachzahlung erhöht sich dieses auf

(3)        K_13' = K₁₃ + 42907 = K₀ · (1 + z%)¹³ + 42907.

Die Restlaufzeit beträgt 29 - 8 - 13 = 8 Jahre. Der Zinssatz beträgt nun 1,65%  und das Endkapital beträgt 345000. In die Formel eingesetzt ergibt das

(4)        345000 = K_13' · (1 + 1,65%)⁸.

Setzt man Gleichung (3) ein, dann bekommt man

(5)        345000 = (K₀ · (1 + z%)¹³ + 42907) · (1 + 1,65%)⁸.

Nun formt man Gleichung (1) nach z um, setzt in Gleichung (5) ein und formt nach K₀ um.

> wie diese Aufgabe funktioniert

So wie die meisten Aufgaben im Matheunterricht:

1. Gleichungssystem aufstellen indem Zahlen in Formeln eingesetzt werden
   
2. Gleichungssystem lösen

Answer 2

x·(1 + p)^21 = 345000

x·(1 + p)^13·(1 + 0.0165)^8 + 42907·(1 + 0.0165)^8 = 345000

Löse das Gleichungssystem und erhalte: x = 163787.5083 und p = 0.03611172084

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