Man soll die Grenzwerte von x_n und y_n bestimmen, ohne das Wissen zu nutzen, dass a_n gegen 0 konvergiert und somit nur einen Häufungspunkt hat ;) Mein Ansatz:
\( x_n:=\inf\{a_k:k\geq n\},~~y_n:=\sup\{a_k:k\geq n\},~~mit~~n\in\mathbb{N}. ~~a_n:=\frac { 1 }{ n^2},\\ x_n=\inf\{\frac { 1 }{ k^2}:k\geq n\},y_n=\sup\{\frac { 1 }{k^2}:k\geq n\}. \\ Es ~~gilt:\\ y_1=sup\{1,\frac { 1 }{ 4},\frac { 1 }{ 9},...\}=1,~~y_2=\sup\{\frac { 1 }{ 4},\frac { 1 }{ 9},\frac { 1 }{ 16},...\}=\frac { 1 }{ 4},~~\\y_3= \sup\{\frac { 1 }{ 9},\frac { 1 }{ 16},\frac { 1 }{ 25},...\}=\frac { 1 }{ 9},...,y_n= \sup\{\frac { 1 }{ k^2}\}=\frac { 1 }{ k^2}\rightarrow0\\ \\ x_1=\inf\{1,\frac { 1 }{ 4},\frac { 1 }{ 9},...,\frac { 1 }{ k^2}\}=\frac { 1 }{ k^2}\ ?~~ x_2=\inf\{\frac { 1 }{ 4},\frac { 1 }{ 9},...,\frac { 1 }{ k^2}\}=\frac { 1 }{ k^2},...,x_n=\inf\{\frac { 1 }{ k^2}\}=\frac { 1 }{ k^2}\rightarrow 0?\\Somit~~gilt:\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} y_n=0\rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n=0 \)
Die Folge mit x_n irritiert mich, da ich Schwierigkeiten habe dort das Infimum genau anzugeben :( habe ich dabei etwas falsch verstanden? Eigentlich ist 0 die größte untere Schranke(vermute ich), aber 0 ist kein Folgenglied von x_n? Wie müsste man das richtig formulieren?
Und auch bei y_n kommt es mir etwas komisch vor, einfach nur 1/k^2 in der Menge zu behalten, da es doch unendlich viele Folgenglieder gibt und somit ist die Menge unendlich groß, auch wenn ich sehr sehr viele Folgenglieder entferne...deswegen scheint mir meine Formulierung nicht ausreichend oder sogar falsch, auch wenn k unendlich groß sein kann.
Wie löst man so eine Aufgabe und notiert sie formal korrekt?
Zu dem Thema: https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior#Limes_superior_und_Limes_inferior_f.C3.BCr_Folgen
