Bestimme die Approximation der Funktion f(x)=cos^2(x)

Question

Hallo ihr lieben..

Hier lautet meine Aufgabenstellung die ich alleine nicht lösen kann .

 

cos²  (x) an der Stelle x0= 0 durch ein Taylor-polynom 5. Grades

 

LG

Answer 1

Hi,

bestimme erst die Ableitungen:

f(x)=cos^2(x)

f'(x)=-2sin(x)cos(x)

f''(x)=2(sin^2(x)-cos^2(x))

f'''(x)=8cos(x)sin(x)

f''''(x)=8(cos^2(x)-sin^2(x))

f'''''(x)=-32cos(x)sin(x)

 

Damit in die Taylorformel:

f(x₀)+f'(x₀)/1! (x-x₀)+...

 

Das ergibt dann für x₀=0 und damit cos(0)=1 und sin(0)=0:

T=1-x^2+x^4/3

 

Grüße

Comments

Die Ableitungen sind möglicherweise leichter zu berechnen, wenn man
cos²(x)  durch  (1/2)·cos(2·x) -1/2  ersetzt.

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Wenn man die Entwicklung des Cosinus kennt, kann man auch direkt

cos²(x) ≈ 1 - x²/2 - x²/2 + (-x²/2)*(-x²/2) + x^4/4! + x^4/4! = 1 - x² + x²*(1/4 + 1/12) = 1 - x² + x^4/3

ausrechnen.