Aufgabe - steilste Zahnradbahn der Welt:
Vorbei an saftig blühenden Alpenwiesen, schäumend klaren Bergbächen und faszinierenden Felsklippen bahnt sich die seit 1889 steilste Zahnradbahn der Welt ihren Weg von Alpnachstad nach Pilatus Kulm in der Schweiz.
Da bei dieser Steigung bei herkömmlichen Zahnstangen mit vertikalem Eingriff die Gefahr des Aufkletterns des Zahnrades aus der Zahnstange bestünde, entwickelte der Schweizer Ingenieur Eduard Locher speziell für diese Bahn eine Zahnstange mit seitlichem Eingriff (Zahnradystem Locher).
Technische Daten:
\( \begin{array}{ll} \text {Betriebszeit} & \text {Mai bis November} \\ \text {Höhendifferenz} & 1635 \mathrm{~m} \\ \text {Länge der Bahn} & 4628 \mathrm{~m} \\ \text {Fahrgeschwindigkeit } & \text {bergwärts } 12 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text {, talwärts } 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \\ \text {Fahrzeit } & \text {bergwärts } 30 \mathrm{~min} \text {, talwärts } 40 \mathrm{~min}\end{array} \)
a) Bestimme aus einer maßstabsgetreuen Zeichnung:
(1) die horizontale Luftlinienentfernung der Strecke;
(2) die Steigung und den Steigungswinkel der Strecke.
b) Erläutere die Bedeutung von Sinus, Kosinus und Tangens in diesem Sachverhalt.
Ansatz/Problem:
Meine Lösung zu a)
\( 1 \mathrm{~cm} : 1000 \mathrm{~m} \)
\( 1 \frac{1}{1000} \mathrm{~cm}=1 \mathrm{~m} \)
\( 1,635 \text{ cm} = 1635 \text{ m} \)
\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)
\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}=c \)
\( \sqrt{1635^{2}+4628^{2}}=4908,32 \)
Meine Lösung zu b)
Steigungswinkel \( =\alpha \)
\( \begin{aligned} \cos (\alpha) &=\frac{c}{b}=\frac{\text { 4nkathete }}{\text { Hypotenuse }} \\ &=\frac{4908,32}{4628} \\ &=1,06 \end{aligned} \)
