a) n ∈ IN.
Behauptung Nr n: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.
Behauptung Nr n+1: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^{n+1} < y^{n+1}, wenn x < y.
Verankerung n=1
x < y gdw (genau dann wenn) x < y ist trivialerweise richtig.
Indunktionsschritt n → n+1
Ind.voraussetzung Behauptung Nr n: x^n < y^n gdw x < y.
zu zeigen: Behauptung Nr n+1: x^{n+1} < y^{n+1} gdw. x < y.
Bew. x^{n+1} = x^n * x (Potenzgesetz)
< x^n * y (gdw. x < y) (Abschätzung gemäss: Mult. mit positiven Zahlen)
< y^n * y (Ind.vor.)
= y^{n+1} Potenzgesetz
Also: x^{n+1} < y^{n+1}
w.z.b.w.
b) n ungerade, x,y können jetzt auch neg. sein. Es gilt nach Def. von '<' z.B. -5 < -2, -10 < -4
Voraussetzung: x<y
Hier folgt jetz eine etwas unschöne und mühsame Fallunterscheidung.
Fall: x neg. und y positiv bleibt bei ungeraden Exponenten gleich.
Fall: x und y positiv: Behauptung wurde bereits in a) bewiesen auch für gerade n.
Fall: x und y neg.:
x<y heisst x^2 = x*x > x*y > y*y = y^2 Bsp. (-5)^2 = 25 > (-5) *(-2) =10 > (-2) (-2) = 4
y ist also betragsmässig kleiner als x und y^2 < x^2
Verankerung: n=1
x < y gdw (genau dann wenn) x < y ist trivialerweise richtig.
Indukionsschritt n → n+2
Ind.voraussetzung Behauptung Nr n: x^n < y^n gdw x < y.
zu zeigen: Behauptung Nr n+2: x^{n+2} < y^{n+2} gdw. x < y.
Bew. x^{n+2} = x^n * x^2 (Potenzgesetz)
< x^n * y^2 (gdw. x < y, resp x^2 > y^2)
(Abschätzung gemäss: Mult. einer neg. Zahl mit einer kleineren positiven Zahl)
< y^n * y^2 (Ind.vor.)
= y^{n+2} Potenzgesetz
Also: x^{n+2} < y^{n+2}
w.z.b.w.