Vollständige Induktion: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y und Beweis

Question

Wie soll ich hier vorgehen?

(a) Sei n ∈ IN. Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.

(b) Ist n ∈ IN eine ungerade Zahl und sind x; y ∈ IR, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.

Answer 1

(a)

Wenn x < y, dann gilt auch: x¹ < y¹ (ist ja dasselbe). Damit ist der Anfang gemacht.

Der Induktionsschritt lautet dann:

xⁿ⁺¹ < yⁿ⁺¹ ⇔ xⁿ • x < yⁿ • y

Weil x ≠ 0: ⇔ xⁿ < yⁿ • y/x

Wegen der Voraussetzung 0 < x < y gilt: y/x > 1

Also: xⁿ < yⁿ < yⁿ • y/x

Mit der Induktionsvoraussetzung gilt hier die Behauptung (die Äquivalenzzeichen genügen auch der "genau dann, wenn"-Bedingung

 

(b)

Man kann den beweis aus (a) verwenden, wenn man die Variablen in Absolutbeträge setzt, da ungerade positive ganzzahlige Exponenten die Parität der Basis nicht verändern.

Nur der Spezialfall x=0 muss extra betrachtet werden, da man natürlich nicht durch 0 teilen kann.

Answer 2

a) n ∈ IN. 

Behauptung Nr n: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.  

Behauptung Nr n+1: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^{n+1} < y^{n+1}, wenn x < y.             

Verankerung n=1

x < y gdw (genau dann wenn) x < y            ist trivialerweise richtig.

Indunktionsschritt n → n+1

Ind.voraussetzung Behauptung Nr n:        x^n < y^n gdw x < y.   

zu zeigen: Behauptung Nr n+1:         x^{n+1} < y^{n+1} gdw. x < y. 

Bew.         x^{n+1} = x^n * x                                    (Potenzgesetz)

                                                < x^n * y (gdw. x < y)      (Abschätzung gemäss: Mult. mit positiven Zahlen)

                                                 < y^n * y                             (Ind.vor.)

                                                 = y^{n+1}               Potenzgesetz

Also: x^{n+1} < y^{n+1}

                        w.z.b.w.

 

b) n ungerade, x,y können jetzt auch neg. sein. Es gilt nach Def. von '<' z.B. -5 < -2, -10 < -4

Voraussetzung: x<y

Hier folgt jetz eine etwas unschöne und mühsame Fallunterscheidung.

Fall: x neg. und y positiv bleibt bei ungeraden Exponenten gleich.

Fall: x und y positiv: Behauptung wurde bereits in a) bewiesen auch für gerade n.

Fall: x und y neg.:

x<y           heisst x^2 = x*x > x*y > y*y = y^2                 Bsp. (-5)^2 = 25 > (-5) *(-2) =10 > (-2) (-2) = 4

y ist also betragsmässig kleiner als x und y^2 < x^2

 

Verankerung: n=1

x < y gdw (genau dann wenn) x < y            ist trivialerweise richtig.

Indukionsschritt n → n+2

 

Ind.voraussetzung Behauptung Nr n:        x^n < y^n gdw x < y.   

zu zeigen: Behauptung Nr n+2:         x^{n+2} < y^{n+2} gdw. x < y. 

Bew.         x^{n+2} = x^n * x^2                                    (Potenzgesetz)

                                                < x^n * y^2 (gdw. x < y, resp x^2 > y^2)      

(Abschätzung gemäss: Mult. einer neg. Zahl mit einer kleineren positiven Zahl)

                                                 < y^n * y^2                             (Ind.vor.)

                                                 = y^{n+2}               Potenzgesetz

Also: x^{n+2} < y^{n+2}

                        w.z.b.w.

 

 

 

Comments

gilt diese Behauptung  (x^n <y^n)  auch wenn x und y negativ sind? Lg

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So allgemein nicht. Nein. Du findest bestimmt selbst Gegenbeispiele.

In der Frage oben war aber bei a) ausdrücklich verlangt, dass x und y > 0 . Und bei b) gab es eine Voraussetzung zu n.