komplexe Folge (-1)^n*1/n + i n (1 - (1- 1/n)^{0.25})). Grenzwert bestimmen

Question

hab hier folgende komplexe Folge:

Dabei ist ja der Realteil egal, weil 1/n ja eh gegen 0 geht, also folglich ist (-1)^n egal.

Wenn ich n reinmultipliezieren i(n-(n-1)^0.25) nur, wie geht es jetzt weiter?

komplexe Folge (-1)^n*1/n + i n (1 - (1- 1/n)^{0.25})). Grenzwert bestimmen

Comments

Mir der Klammerung aus dem Bild, die anders als die Klammerung im Ttel ist, gilt:

$$  n \cdot \left( 1 - \left( 1- \left( \frac 1n \right)^{0.25} \right) \right) = n^{0.75} $$ Die richtige Wiedergabe der Aufgabe ist vermutlich nicht die schlechteste Idee...

Answer 1

Hallo like,

du hast mit dem Realteil recht:

Re = (-1)ⁿ * 1/n   →_n→∞   0

Für den Imaginärteil gilt:

(1/n)^0.25 =  ⁴√(1/n)  =  1 / ⁴√n    →_n→∞   0

1 - (1/n)^0.25  →_n→∞  1

1 - (1 - (1/n)^0.25)   →_n→∞   0

Im  =  n * [ 1 - (1 - (1/n)^0.25) ]  =  [ 1 - (1 - (1/n)^0.25) ] / (1/n)   →_n→∞   "0/0"

Hospital:

[ 1 - (1 - (1/x)^0.25) ] ' / [ 1/x] '

=  [ ((x - 1) / x)^1/4) / (4·x·(1 - x)) ] / [ - 1/x² ]  

=  - 1/4 * ( 1 + 1/x )^1/4 * x / (1-x)

 =  -1/4 * ( 1 + 1/x )^1/4 * (1 / (1/x - 1)  →_x→∞   -1/4 * 1 * (-1)  =  1/4

→   Im   →_n→∞   1/4

→  (Re + i * Im)   →_n→∞   i / 4  

Gruß Wolfgang

Comments

Warum ist dass n plötzlich unten?

  n * [ 1 - (1 - (1/n)^0.25) ]  =  [ 1 - (1 - (1/n)^0.25) ] / (1/n)   →_n→∞   "0/0" 

---

... →_n→∞ ...    bedeutet nur  " .... strebt für n gegen ∞  gegen ... " 

Answer 2

der Betrag der Folgenglieder ist

√[1/n^2 +n^{3/2}]

Da n^{3/2} gegen unendlich strebt, ist der Betrag unbeschränkt und somit kann die Folge nicht konvergieren.