Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale: (e^{2x})/(e^x+1)

Question

Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale:

laut wolfram alpha lautat die Lösung:

integral e^{2 x}/(1 + e^x) dx = e^x - log(e^x + 1) + constant

Aber wie komm ich drauf? ich weiß e^x muss man substituieren...

mehr weiß ich nicht...

Answer 1

$$\int\frac{e^{2x}}{e^x+1}dx\\ [z=e^x\\ \frac{dz}{dx}=e^x\\ dx=\frac{dz}{e^x}]\\ =\int \frac{e^{2x}}{z+1}\cdot\frac{dz}{e^x}\\ =\int \frac{z}{z+1}dx\\ =\int\frac{z+1-1}{z+1}dz=\int 1dz-\int\frac{1}{z+1}dz\\ =z-ln|z+1|+c\\ \text{Resubstitution}\\ =e^x-ln|e^x+1|+c$$

                           

Answer 2

substituieren klingt schon mal gut,

e^x:=z

dz/dx=e^{x}=z

dx=dz/z

∫...=∫z^2/(1+z) dz/z

=∫z/(1+z)DZ

=∫(z+1-1)/(1+z)dz

=∫(1-1/(1+z))dz

=z-ln(1+z)+C

=e^x-ln(1+e^x)

Answer 3

Du brauchst hier nichts substituieren:

$$ \int {e^{2x} \over e^x+1} dx $$

$$ = \int {\left( e^x \right)^2+e^x-e^x \over e^x+1} dx $$

$$ = \int e^x-{e^x \over e^x+1} dx $$

$$ = e^x-\ln |e^x+1| $$

Grüße,

M.B.