frage(n) zu einer anwendung

Question

In St. Louis steht der Gateway-Arch. Er hat die Gestalt einer umgekehrten Kettenlinie, die den stablilsten aller Tragebögen darstellt. Die äußere Randkurve ist 180 m hoch und an der Basis 180 m breit. Die innere Randkurve ist 175 m hoch und an der Basis 150 m breit. Die Gleichungen der Randkurven können jeweils in der Form f(x)) = b- a/2 mal (e^x:a + e^ -x/a) modelliert werden:

Äussere Kurve: a = 36,5 und b =216,5 

Innere Kurve: a=28,14 und b=203,14

a) In welcher Höhe beträgt der Abstand der beiden inneren Bogenseiten 100m?

b) Unter welchem Winkel trifft der äußere Bogen auf den Boden?

Wir haben die a) bereits in der Schule besprochen und ich weiß, dass man f(50) rechnen muss. Aber warum? Es erschließt sich mir leider nicht. Zu b) habe ich leider keine Idee.

Würde mich über eine Hilfe sehr sehr freuen.

Answer 1

Zu a) Dei Bögen sind symmetrisch zur y-Achse. An der Stelle x=50 hat der innere Boge eine Höhe erreicht, auf der der Abstand der beiden inneren Bogenseiten 100m beträht. (Lege dir eine Skizze des Bogens an?.

Zu b) Bilde die Ableitung der Funktion f des äußeren Bogens und berechne f '(90), Das Ergebnis ist der Tangens des gesuchten Winkels oder sein Komplement.

Answer 2

Hier zunächst eine Skizze. Eigentlich sollte man alle Ergebnisse ungefähr ablesen können.

~plot~ 203.14 - 28.14/2 * (exp(x/28.14) + exp(-x/28.14));216.5 - 36.5/2 * (exp(x/36.5) + exp(-x/36.5));[[-140|140|0|210]] ~plot~

Comments

a) In welcher Höhe beträgt der Abstand der beiden inneren Bogenseiten 100m?

fi(50) = 203.14 - 28.14/2·(EXP(50/28.14) + EXP(- 50/28.14)) = 117.6 m

Zeichne dir die Punkte (±50 | 117.6) in die Skizze ein und lies dann nochmals die Frage durch.

b) Unter welchem Winkel trifft der äußere Bogen auf den Boden?

fa(x) = 216.5 - 36.5/2·(EXP(x/36.5) + EXP(- x/36.5)) = 0 --> x = 90.02

fa'(x) = e^{- 2·x/73}/2 - e^{2·x/73}/2

fa'(90.02) = e^{- 2·90.02/73}/2 - e^{2·90.02/73}/2 = -5.847

α = ATAN(-5.847) = -80.29°

Answer 3

Eine ähnliche Aufgabe gibt es unter

http://www.abiturloesung.de/

2003 LK Infinitesimalrechnung I

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