Warum gilt die 3te Binomische Formel in einem beliebigen Ring mit 1.

Question

Sei R ein beliebiger Ring mit 1. Unter welchen Bedingungen gilt (a+b)(a-b)= a^2-b^2 für alle a,b ∈ R.

a) Immer. Das ist schließlich die dritte binomische Formel.

b) Dann und nur dann wenn R kommutativ ist. Das kann ich beweisen.

c) Dann und nur dann wenn R Integritätsring ist.

Answer 1

Das ist Schulniveau:
$$(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^2-ab+ba-b^2.$$

Answer 2

$$ (a+b)(a-b) $$

Zuerst brauchst Du das Distributivgesetz:

$$ = a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) $$

Dann die additiven Inversen (die werden eigentlich schon vorausgesetzt, sonst könntest Du überhaupt nicht \( (a-b) \) schreiben):

$$ = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b $$

Dann die Kommutativität:

$$ = a \cdot a - a \cdot b + a \cdot b - b \cdot b $$

$$ = a \cdot a - b \cdot b $$

$$ = a^2-b^2 $$

Grüße,

M.B.