Integration mit der Substitutionsmethode. Bsp. Integration von f(x) = x*e^ (x^2) mit x = √(u) .

Question

ich verstehe  nicht ganz wie die Aufgaben  richtig lösen soll ,kann mir da einer dabei helfen.Dankeee

Answer 1

Zu (i) x=√u für positive u ergibt (1) x²=u und du/dx=2x bzw. (2) dx=du/(2x).

(1) und (2) in ∫xe^{x^2})dx eingesetzt ergibt ∫x·e^u·du/(2x)= 1/2·∫e^u du =e^u/2.

Resubstitution ∫xe^{x^2})dx=1/2·e^{x^2}

Answer 2

Zu ii)

x= 3 sin(u)

dx/dt= 3 cos(x)

dx= 3 cos(x) *dt

eingesetzt

= (3 sin(u))/( sqrt(9 -9 sin^2(u) ) du

= (3 sin(u))/( sqrt(9((1-sin^2(u) ) du

= 1 * du

=u +C

= arc sin(x/3) +C

nun noch die Grenzen einsetzen

Answer 3

d) x=tan(u)

dx /du=1+tan(u)^2

dx=(1+tan(u)^2)du

∫...=∫1du=u=arctan(x)

(Das ist eigentlich ein Standardintegral)

Setze nun die Grenzen ein