Ungleichung beweisen: sin(x/2) ≥ 1/2 sin(x) für x Element [0,2π] .

Question

hat jemand eine Idee wie ich folgende Ungleichung zeigen kann

$$ sin(x/2) \geq \frac{1}{2}sin(x) \quad \quad \forall x \in [0,2\pi]$$

Ich könnte noch den Arcussinus auf beiden nehmen (falls das äquivalent wäre), dadurch hätte ich aber auch nichts gewonnen

Answer 1

mit den Additionstheoremen gilt

$$ sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)\\ $$

Jetzt schätzt du den Term rechts noch ab, z.B  mithilfe einer Fallunterscheidung.

Answer 2

Es ist zum Beispiel \(\sin(x) = \sin(x/2 + x/2) = 2\cdot \sin(x/2)\cdot \cos(x/2) \). Das solllte reichen.

Comments

Wäre der Lösungsweg korrekt?

$$sin(\frac{x}{2}) \geq \frac{1}{2}sin(x)= sin(\frac{x}{2})\cdot \frac{1}{2}cos(\frac{x}{2})$$

1.Fall x ungleich 0 und 2pi

$$ 1\geq \frac{1}{2}cos(\frac{x}{2})$$

wahre Aussage
2.Fall x=0,2pi
$$ 0 \geq 0 $$
wahre Aussage

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Nein, du müsstest auf \(1 \ge \cos(x/2)\) kommen.

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$$\frac{1}{2}sin(x) = \frac{1}{2} [2sin(x/2) \cdot cos(x/2)]= sin(x/2) \cdot \frac{1}{2}cos(x/2)$$

Jetzt Teile im ersten Fall durch sin(x/2) und erhalte

$$ 1 \geq \frac{1}{2}cos(x/2)$$

oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?