Fibonacci Zahl >= Goldener Schnitt

Question

Ich habe die obige Aufgabe und komme nicht so recht klar.

Also Induktionsanfang habe ich:  n=2 und n+1=3 gerechnet.

Beim Induktionsschritt bin ich bei:   Fn+Fn+1 >=  ((1+√5)/2)^{n-1} + ((1+√5)/2)^{n-2}. Doch weiß ich nicht wie ich das weiter umformen soll. Damit es ersichtlich wird.

Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen.

Answer 1

Definiere \(x:=\tfrac12(1+\sqrt5)\). Rechne nach, dass \(\tfrac1x+\tfrac1{x^2}=1\) ist. Nach Induktionsvoraussetzung gilt$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\ge x^{n-1}+x^{n-2}=x^n\cdot\underbrace{\left(\tfrac1x+\tfrac1{x^2}\right)}_{=1}=x^n.$$