Grenzwert von (1/x)/(e^{1/x}-1) für x gegen unendlich

Question

wie berechne ich den Grenzwert von f(x) = (1/x) / (e^1/x - 1) für x gegen unendlich ?

Answer 1

Du hast hier den  Fall 0/0 -> Regel von L'Hospital

d.h  Zähler und Nenner getrennt 1 Mal ableiten.

Lösung: 1

Comments

Hi,

Danke erstmal. Aber wie kommt man da jemals auf 1? Im Zähler erhalte ich doch, egal wie oft ich L'Hospital anwende, immer einen Term, der für x gegen unendlich nach 0 strebt, oder?

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Answer 2

alternative: Taylorentwicklung von e^{1/x} im Unendlichen:

$$ e^{1/x}\approx 1+\frac { 1 }{ x }\\1/x(e^{1/x}-1)\approx1/x(1+\frac { 1 }{ x }-1)=1 $$