Beweis Verknüpfungen von Grenzwertsätzen

Question

ich muss folgendes Beweisen:

$$Ist\lim_{n\rightarrow\infty}{{a}_{n}}=a\quad und\lim_{n\rightarrow\infty}{{b}_{n}}=b,\quad so \quad gilt\quad\lim_{n\rightarrow \infty}{{(a}_{n}+{b}_{n})}=a+b\\Ist\lim_{n\rightarrow\infty}{{a}_{n}}=a,\quad so\quad gilt\quad\lim_{ n\rightarrow\infty}{{(aa }_{n})}=aa\quad für\quad alle\quad a∈ℝ.$$

Wie beweist man beispielseise diese beiden Sätzen

Answer 1

Mit der Grenzwertdefinition:


was zu zeigen ist heißt ja:

∀ ε>0 ∃ n_o ∈ ℕ   n > n_o ==>  | (a_n +b_{n )} - (a+b)  | < ε 

Das musst du mit den beiden vorausgesetzten Grenzwerten

begründen. Also könnte man so anfangen:

Sei ε > 0 .  

Wegen der Grenzwerte a und b gilt dann auch 

zu  ε/2 gibt es ein n₁ mit   n > n₁ ==>  | a_n - a | < ε / 2  

und

zu  ε/2 gibt es ein n₂ mit   n > n₂ ==>  | b_n - b | < ε / 2  


Sei also nun   n_o =  max ( n₂ , n₁ ) dann gilt 

für alle n >   n_o

  | a_n - a | < ε/2     und     | b_n - b | < ε / 2

==>     | a_n - a |  +  | b_n - b | < ε

mit der Dreiecksungleichung folgt

  | a_n - a  +  b_n - b |   ≤  | a_n - a |  +  | b_n - b | < ε 

also 

  | a_n +  b_n    - a  - b |    < ε 

==>    | (a_n +  b_n  )  - (a  + b )      < ε     q.e.d.

Answer 2

Nimm dir die Definition des Grenzwertes von Folge  :

Für alle e>0 existiert ein N aus IN sodass für alle n>N gilt : |a-an| < e.

Das selbe gilt für b auch.

Jetzt schau dir an,  was für an+bin aussieht mit Grenzwert a+b gilt:

|(a+b)-(an+bn)|

Benutze nun die Definition der beiden einzelnen Grenzwerte und schätze ab.

b)  müsste so ähnlich gehen