Umformen von Koordinatenform in Parameterform

Question

ich schreibe morgen Abitur und brauche noch ein letzes mal eure Hilfe  :)!

Ich wollte eine Eben, welche ich als Koordinatenform gegeben habe umformen in Parameterform via Spurpunkte.
Die Ebene lautet: x+2y=4
Dann wäre mein erster Spurpunk (4/0/0) und meine zweiter (0/2/0). Aber wie ist mein dritter? Ich habe ja z nicht gegeben.

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mich ein letzes mal retten könntet!


Christian

Answer 1

x+2y=4 

z ist beliebig.

D. h. deine Ebene verläuft parallel zur z-Achse. Da O(0|0|0) nicht auf E liegt, gibt es keinen Schnittpunkt mit der z-Achse. Im Bild: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/spezielle-ebenen-im-raum 

Du musst alse einen andern dritten Punkt finden. 

" mein erster Spurpunkt (4/0/0) und meine zweiter (0/2/0)."  **)

Lieber: 

"mein erster Achsenschnittpunkt P(4/0/0) und mein zweiter Q(0/2/0)."

z ist ja beliebig also z.B. noch R(4|0|3) 

**) Spurpunkte werden die Achsendurchstosspunkte tatsächlich manchmal genannt. Aber: Ebenen schneiden die  Koordinatenebenen in Geraden (wenn überhaupt) . D.h. Ebenen haben Spurgeraden. ( Geraden haben üblicherweise Spurpunkte)

Answer 2

Hallo Christian,

Die Spurpunkte einer Ebene im Raum findest Du indem, man die Parameter paarweise zu 0 setzt. Die Paare für \(y\) und \(z\) und für \(z\) und \(x\) hast Du korrekt berechnen. Setzt Du hingegen \(x\) und \(y\) zu 0 so ist die Gleichung nicht lösbar; es gibt also keinen dritten Spurpunkt.

Rein anschaulich liegt die Ebene parallel zu der Z-Achse und schneidet sie daher nicht. D.h. aber auch, dass Du die Z-Richtung \((0,0,1)\) als einen Richtungsvektor in der Parameterform benutzen kannst.

Gruß Werner

Answer 3

Spurpunkt z gibt es nicht bzw. die Ebene ist parallel zur z-Achse.

Grundsätzlich geht es am einfachsten durch umstellen auf eine Achsen-Variable

E: x = 4 - 2 y

Jetzt wählt man die zwei als Parameter y = r und z = s einsetzen

(x,y,z) = (4-2r, r, s ) Parameterform fertig und ggf. richtig sortiert aufschreiben E; X = a + r b + s c

Es könnte helfen die Anschauung zu unterstützen z.B. bei geogebra.org im grafikrechner eintippen und gucken...