Eine Abbildung f : A → B ist genau dann injektiv, wenn sie ein Linksinverses besitzt,
wenn also eine Abbildung A ← B :g existiert, für die gilt g ◦ f = idA.
Sie ist surjektiv genau dann, wenn sie ein Rechtsinverses besitzt.
Sei f : A --> B eine Abbildung und g eine Linksinverse.
Dann muss f Injektiv sein, denn sind x,y aus A mit f(x) ) = f(y)
dann ist g( f(x)) = g ( f(y) ) und wegen g o f = id A
also x = y
umgekehrt ist es vielleicht etwas schlechter einzusehen, aber ich versuche es
mal: Sei also f : A --> B und f Injektiv.
Wähle x ∈ A , dann gibt es ein y ∈ B mit f(x) = y.
Definiere nun g : B --> A durch
g (t) = s , wenn es ein s aus A gibt mit f(s) = t
und g(t) = x sonst .
Diese Abbildung ist wohldefiniert; denn für jedes t ist g(t) eindeutig
bestimmt (im ersten Fall wegen der Injektivität und im zweiten
Fall werden alle Elemente, die nicht in Bild(f) liegen, auf x
abgebildet.
g ist linksinvers zu f, weil für jedes s aus A gilt
f(s) aus Bild (f) also
g( f(s ) ) = s nach dem ersten Teil der Def. von g.
Für den Zusammenhang zwischen surjektiv und rechtsinvers
kann man ähnlich überlegen.
