Question

Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren oder divergieren.

Beweisen Sie Ihre Entscheidung:

a) \( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \)

b) \( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 n - 1 } { \sqrt { 2 } ^ { n } } \)

c) \( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { n ^ { 2 } + 7 } { 5 n ^ { 2 } + 1 } \)

d) \( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { 2 n + 1 } { n ( n + 1 ) } \)

Answer 1

c) divergiert, weil die Folge der Summanden nicht gegen Null konvergiert. 

c_(n) = (n^2 + 7)/(5n^2 + 1) = (1 + 7/n^2)/(5 + 1/n^2) -----(n->unendlich) ---> (1+0)/(5+0) = 1/5 ≠ 0 

a) divergiert,

Σ 1/n ist eine divergente Minorante. 

d) konvergiert gemäss Leibnizkriterium.

d) konvergiert nicht absolut. Absolut kannst die Reihe d) du mit der harmonischen Reihe vergleichen. 

b) konvergiert und konvergiert absolut. Bestimme z.B. eine konvergente Majorante.