Geraden und Ebenen im Raum. Neigungswinkel der Raumdiagonalen eines Quaders. usw.

Question

Ein Quader ABCDEFGH hat die Maße AB = 7cm    BC = 5cm      AE = 3cm.

Bestimme konstruktiv und rechnerisch

a) den Neigungswinkel der Raumdiagonale [EC] gegen die Grundfläche ABCD (die Seitenfläche ADHE)

b) den Abstand des Eckpunktes B zur Fläche ADHE und zur Fläche FCDE

Answer 1

zu a) rein rechnerisch bestimmt man den Winkel zwischen \(EC\) und Grundfläche aus dem Winkel zwischen \(EC\) und der Projektion von \(EC\) auf die Grundfläche - und das ist \(AC\). Es ist

$$\vec{EC} \cdot \vec{AC} = |EC| \cdot |AC| \cdot \cos \alpha$$

$$ \begin{pmatrix} 7\\ 5\\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 7\\ 5\\0 \end{pmatrix} = \sqrt{7^2+5^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{7^2+5^2} \cdot \cos \alpha \quad \Rightarrow \alpha = 19,226°$$

Zeichnerisch geht das gleiche, indem man zunächst die Grundfläche skizziert und dann an der Diagonalen noch mal im rechten Winkel die Strecke \(AE\) ansetzt:

Für den Winkel zwischen \(EC\) und Seitenfläche giot es in gleicher Weise den Winkel zwischen \(\vec{EC}\) und \(\vec{ED}\) zu berechnen, bzw. zu konstruieren.

zu b) Der Abstand des Punktes \(B\) zur Seitenfläche \(ADHE\) ist  gleich \(AB\) also =7.

Der allgemeine Weg zur Berechnung des Abstands von \(B\) zur Fläche \(FCDE\) geht z.B. über die Normalenform der Ebene, die durch \(FCDE\) gegeben ist. Ich wähle \(A\) als Ursprung und \(AB\) als X-Richtung. Der Normalenvektor ist \(\vec{n}=(0;3;5)\); ein Punkt in der Ebene ist \(E\)  - damit ergibt sich die Hessesche Normalform

$$\frac{1}{|\vec{n}|}\left( \vec{n} \cdot \vec{x} - \vec{n} \cdot \vec{AE}\right)=0$$ $$\frac{1}{\sqrt{3^2+5^2}} \left( \begin{pmatrix} 0\\3 \\5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -  \begin{pmatrix} 0\\3 \\5 \end{pmatrix}\cdot  \begin{pmatrix} 0\\0 \\3 \end{pmatrix} \right)=0$$

$$\frac{1}{\sqrt{34}} \left( \begin{pmatrix} 0\\3 \\5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 15 \right)=0$$

Das Einsetzen von \(\vec{AB}\) liefert den Abstand \(a\).

$$a=\frac{1}{\sqrt{34}} \left( \begin{pmatrix} 0\\3 \\5 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5\\0 \\0 \end{pmatrix}  - 15 \right)=\frac{15}{34}\sqrt{34}\approx 2,572$$

Konstruktiv überlegt man sich, in welcher Ebene der Punkt \(B\) und die Projektion von \(B\) auf die Ebene zusammen fallen. Dies ist die Seitenfläche \(BCGF\).

Falls dazu noch Fragen sind, so melde Dich bitte.

Und zur Veranschaulichung nochmal in 3D:

Gruß Werner

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=quader(0%7C0%7C0%207%205%203)%0Apunkt(0%7C0%7C0%20%22A%22)%0Apunkt(7%7C0%7C0%20%22B%22)%0Apunkt(7%7C5%7C0%20%22C%22)%0Apunkt(0%7C5%7C0%20%22D%22)%0Apunkt(0%7C0%7C3%20%22E%22)%0Apunkt(7%7C0%7C3%20%22F%22)%0Apunkt(7%7C5%7C3%20%22G%22)%0Apunkt(0%7C5%7C3%20%22H%22)%0Agerade(0%7C0%7C3%207%7C5%7C0)%0Aebene(7%7C0%7C3%207%7C5%7C0%200%7C0%7C3)%0Astrecke(7%7C0%7C0%207%7C1.32%7C2.21)%0Apunkt(7%7C1.32%7C2.21%20%22Q%22)%0Avektor(7%7C5%7C0%20-7%7C-5%7C0%20%22a%22)%7BF00%7D%0Avektor(0%7C0%7C3%200%7C5%7C-3%20%22b%22)%7B0F0%7D