Erklärung pq-Formel ! Grundlagen bis Rechnung

Question

Ich schreibe morgen MSA-Mathe und wollte die PQ-Formel noch einmal durchgehen. In meinem Buch erklären die das in Hyroglyphen ...

es wäre super wenn mir jemand in einfachen Sätzen, die PQ-Formel erklären könnte. Habe die noch nicht ganz verstanden.

Bitte auch:

- Umstellen der Formel

Comments

Am besten nennst du mal eine Aufgabe aus deinem Buch,

die du nicht hinbekommst.

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Allenfalls kannst du auch https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung brauchen.

Answer 1

Siehe dort auch die Videos:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung#pq

Bsp.

Answer 2

wenn du eine Gleichung in der Form

x² + px +q = 0 hast, um die Nullstellen einer Parabel zu ermitteln,

arbeitest du mit der pq-Formel, die lautet

$$ x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} $$

In diese Formel setzt du die Werte für p und q ein, wobei du unbedingt auf die Vorzeichen achten solltest.

Wenn die Gleichung zum Beispiel lautet:

x^2 + 4x -5 = 0, dann ist p = 4 und q = -5

eingesetzt in die Formel ergibt das

$$ x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{ 2^{2} + 5 } \\x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{ 9 } \\x_{1,2} = -2 \pm 3 $$

Damit hast du zwei Nullstellen:

x₁ = -2 + 3 = 1

x₂ = -2 -3 = -5

Ich weiß jetzt wohl nicht, warum du die Formel umstellen willst/sollst.

Answer 3

Ohne Kenntnis der p-q-Formel löst man quadratische Gleichungen mit der "quadratischen Ergänzung"  (das Quadrat der halben Vorzahl von x). Zahlenbeispiel x²+4x+3=0. Das Quadrat der halben Vorzahl von x ist (4/2)²=4. An die Stelle der 3 gehört diese 4. Deshalb addiere ich auf beiden Seiten 1. x²+4x+4=1. Jetzt steht links ein Teil einer binomischen Formel und damit gilt: (x+2)²=1.Das Wurzelziehen auf beiden Seiten führt zu x+2=±1 und nach Subtraktion von 2 auf beiden Seiten ist x₁=-1 und x₂=-3.

Allgemein: x²+px+q=0. Das Quadrat der halben Vorzahl von x ist (p/2)²=p²/4. An die Stelle des q gehört dieses p²/4. Deshalb subrtahiere ich auf beiden Seiten q und addiere ich auf beiden Seiten p²/4. x²+px+p²/4=-q+. p²/4. Jetzt steht links ein Teil einer binomischen Formel und damit gilt: (x+p/2)²=-q+p²/4. Das Wurzelziehen auf beiden Seiten führt zu x+p/2=±√(-q+p²/4) und nach Subtraktion von p/2 auf beiden Seiten ist x_1/2=-p/2±√(-q+p²/4) oder auch x_1/2=-p/2±√(p²/4-q). So ist die p-q-Formel entstanden.