Hallo Sonnenblume,
Die Schwierigkeit besteht hier ja im Offensichtlichen - die Lösung ist doch \(a=\sqrt{10}\). Aber ich denke, man soll die Wurzel aus 10 als Dezimalzahl näherungsweise bestimmen. Also quadriere man das ganze, damit die Wurzel verschwindet, und forme es so um, dass auf einer Seite einer Null steht.
$$a=\sqrt{10} \quad \Rightarrow a^2=10 \quad \text{bzw.:} \space 0=a^2-10$$
Dann bilde man die Funktion \(f(a)=a^2-10\) und suche die Nullstelle, also das \(a\) für das \(f(a)=0\) ist. Dazu bestimme man noch die Ableitung
$$\frac{d}{da}f(a)=2a$$
und die setzt man in die Iteration des Newton-Verfahrens ein:
$$a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2-10}{2a_n}$$
das kann man noch etwas umformen
$$\space =\frac{2a_n^2}{2a_n}-\frac{a_n^2-10}{2a_n}=\frac{a_n^2+10}{2a_n}$$
Wenn man nun \(a_0=3\) setzt, so erhält man die Sequenz
$$a_{0..4}\approx 3; \space 3,166667; \space 3,162281; \space 3,162278; \space 3,162278$$
Man sieht, dass es sich schnell einem Wert annähert, mit ca. 2 Dezimalzahlen pro Iteration.
Gruß Werner
