Beweis mit L'Hospital erlaubt? und "Jede beschränkte, differenzierbare Funktion hat einen Wendepunkt" (?)

Question

Hey:)

Ich komm bei den Beweisen hier nicht weiter.

Zu der oberen fällt mir einfach nichts ein. Ich denk aber mal, dass das nicht stimmt...

Zu der unteren mit L'Hospital passt es.

Beweis mit L'Hospital erlaubt? und "Jede beschränkte, differenzierbare Funktion hat einen Wendepunkt" (?)  

Comments

Wie soll denn h) passen, wenn in Wirklichkeit \(\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x}=1\) ist?

Wenn Du findest, dass g) nicht stimmt, dann versuche doch, ein Gegenbeispiel zu skizzieren.

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Aber cos(x) für x gegen unendlcih oszilliert doch...

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Und was folgt Deiner Meinung nach daraus?

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Das es divergiert

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Was "es"? "Es" ist Larifari; sprich praezise. Es geht primaer um \(\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x}\) und die Frage, ob man das mit L'Hospital ausrechnen kann.

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Ich mach ja dann aus dem Term

(x/x) -(sin (x))/x)= 1- (sin(x)/x ) und was passiert jetzt sin(x) oszilliert für unendlich und x geht gegen unendlcih. Dominiert x sin?

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Diskutiere das unter Benutzung von $$\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\left|\frac{1}{x}\right|$$ und Deiner Aufgabe hier:

https://www.mathelounge.de/445443/wenn-f-x-g-x-und-g-x-hat-den-grenzwert-null-ist-f-dann-auch-null

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

h)

lim_x→∞ f '(x) / g'(x) , also  im_x→∞ (1 - cos(x)) / 1   existiert nicht.

Das bedeutet aber nur, dass man hier nicht mit der Regel von Hospital  arbeiten darf, weil die Existenz von lim_x→∞ f '(x) / g'(x)  Voraussetzung für deren Anwendung ist.

 https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

Eine "Umkehrregel" zur Regel von Hospital gibt es nicht.

Deshalb kann - wie hier -  lim_x→∞ f (x) / g(x)   durchaus existieren,                                                      wenn lim_x→∞ f '(x) / g'(x) nicht existiert.

Gruß Wolfgang

Answer 2

zu b)

offensichtlich führt die Regel von l'hospital zu einem falschen Ergebnis. Grund: man kann die Regel nicht anwenden, da f(x)=x-sin(x)

nicht bestimmt gegen ∞ divergiert.

Comments

Es ist \(\lim_{x\to\infty}(x-\sin x)=\infty\).

Answer 3

Ich habe gerade gezeichnet

~plot~ atan(x);1; ~plot~

ME widerspricht f(x) = 1 der Behauptung g. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt 

Comments

Was heißt ME?

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"Meines Erachtens"

und das heisst hier: Wenn ich die verlinkte Definition auf Wikipedia lese.

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Aber arctan hat doch da einen Wendepunkt. Und es gilt ja zu zeigen, ob jede beschränkt differenzierbar Funktion einen Wendepunkt hat

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Die Bemerkung "ME ... " von Lu  bezieht sich nur auf  f(x) = 1 , und die Funktion hat keinen Wendepunkt.

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Ist aber f(x)=1 stetig?

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Jede konstante Funktion f(x) = c  hat doch an jeder Stelle x den Grenzwert c.

Also sind diese Funktionen stetig.

( Und das anschauliche "Beim Zeichnen nicht absetzen" funktioniert auch :-))

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Danke für diese Ergänzungen!

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Ist aber f(x)=1 stetig?

Inwiefern ist diese Frage überhaupt von Belang?

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Damit sie differenzierbar ist, muss sie stetig sein ;)

Weil du f(x) = 1 ableiten kannst (hoffentlich),  musst du Stetigkeit nicht zeigen.

f ' (x) = 0

f ''(x) = 0

f '''(x) = 0

usw.