Winkel zwischen Dachseiten und Dach und Kamin

Question

Aus der Abbildung müssen die Werte entnommen werde und a) der Winkel zwischen den Dachflächen berechnet werde und c) zwsichen der Kante des Kamins und der Dachfläche.

Leider habe ich beide Male falsche Ergebnisse. Bei a) habe ich als Vektoren für n1: (0/4,4/4,4) gekreuzt mit (-7,6/0/0) und dmait n1= (0/-33,44/33,44) und bei n2: (0/-4,4/0) gekreuzt mit (-7,6/0/0) und hatte für n2 (0/0/-33,44). Kosinus^-1 alpha war demnach 135 Grad. Es sollte aber 90 rauskommen.

Bei c) habe ich für den Kamin die Gerade t* (0/0/1) aufgestellt und den n2-Vektor von oben genommen und hatte 90 Grad. Das sollte aber 45 Grad sein.

Bitte helft mir! Dankeschön!

Answer 1

a)

Zuerst können Spannvektoren für eine Hälfte des Dachs aufgestellt werden.

Bei beiden Hälften verläuft eine Komponente parallel zur x₁-Achse, also gerade nach hinten. Im Bild wären das beispielsweise 7,6m.

\( \vec{u} \)' = \( \begin{pmatrix} -7,6\\0\\0 \end{pmatrix} \) oder \( \vec{u} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) (\( \vec{u} \)' ∥ \( \vec{u} \))

Nun kann die Komponente gebildet werden, die die Kante des Daches hoch verläuft.

\( \vec{v} \)_links' = \( \begin{pmatrix} 0\\4,4\\4,4 \end{pmatrix} \) oder \( \vec{v} \)_links = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) (\( \vec{v} \)_links' ∥ \( \vec{l} \)_links)

\( \vec{v} \)_rechts' = \( \begin{pmatrix} 0\\-4,4\\4,4 \end{pmatrix} \) oder \( \vec{v} \)_rechts = \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) (\( \vec{v} \)_rechts' ∥ \( \vec{v} \)_rechts)

Als Normalenvektor für die linke Ebene ergibt sich \( \vec{n} \)_links = \( \vec{u} \) × \( \vec{v} \)_links = \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} \).

Für die rechte Seite gilt nach der gleichen Methode \( \vec{n} \)_rechts = \( \vec{u} \) × \( \vec{v} \)_rechts = \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix} \).

Den Winkel kann man mit Hilfe von cos(α) = \( \frac{|\vec{a} • \vec{b}|}{|\vec{a}| • |\vec{b}} \) ⇔ α = cos^-1(\( \frac{|\vec{a} • \vec{b}|}{|\vec{a}| • |\vec{b}} \)) berechnen.

α = cos^-1(\( \frac{|-1 • (-1) + 1 • (-1)|}{\sqrt{1+1} • \sqrt{1 + 1}} \)) = cos^-1(0) = 90°

c)

Der Kamin kann durch eine Gerade mit dem Richtungsvektor \( \vec{v} \)_kamin = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) dargestellt werden, da seine Seiten hochkant bzw. parallel zur x₃-Achse stehen.

Im nächsten Schritt kann man den Winkel zwischen der Gerade und der Ebene mit cos(90 - α) = \( \frac{|\vec{a} • \vec{b}|}{|\vec{a}| • |\vec{b}} \) ⇔ α = 90° - cos^-1(\( \frac{|\vec{a} • \vec{b}|}{|\vec{a}| • |\vec{b}} \)) = sin^-1(\( \frac{|\vec{a} • \vec{b}|}{|\vec{a}| • |\vec{b}} \)) berechnen.

α = sin^-1(\( \frac{|-1|}{\sqrt{1+1} • \sqrt{1}} \)) = sin^-1(\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) ) = 45°    (\( \vec{v} \)_kamin und \( \vec{n} \)_rechts  einsetzen)