Kurvendiskussion. e-Funktion. f(x)=x*e^{1-x}

Question

habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:

Geg.: f(x)=x*e^{1-x}

Der Graph von f, dessen Wendetangente und die y-Achse schließen ein Flächenst{ck A ein. Berechnen Sje dessen Inhalr. Bestimmen Sie zunächst eine Stammfunktion von f.

Meine Ansätze:

1: Wendetangente:  w(x)= 0,736

2: Stammfunktion: -(x+1)*e^{1-x} 

Nun, wenn ich mir die Aufgabe durchlese, fällt mir auf dass dAs Flächenstück riesig sein muss, da die Wendetangente ja eine konstante Funktion bzw. eine waagerechte Tangente ist und somit die Fläche ja nicht begrenzt ist, im Sinne von Intervallgrenzen. Vermutlich habe ich die Wendetangente falsch berechnet, weiß es nicht.

Lasst euch von dem, was ich geschrieben habe nicht irritieren, da ich glaube dass ich auxh Fehler gemacht habe bzw. Gerads Blödsinn geschrieben habe.

Comments

So gross ist diese Fläche nicht. Schau mal hier: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*e%5E(1-x) 

Answer 1

Hallo Peter, 

f(x) = x * e^1-x

f '(x) =   e^{1-x} ·(1 - x) 

f "(x) =  e^{1 - x}·(x - 2)  =  0   ⇔   x = 2   mit Vorzeichenwechsel von f "

mit  f(2) = 2/e   →   W( 2 | 2/e )

f '(2) = -1/e  ist die Steigung im Wendepunkt  

--------

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]

---------  

→  Wendetangente  w(x) = -1/e * ( x - 2) + 2/e  

                        w(x) = - 1/e · x + 4/e 

w(x) = - 1/e·x + 4/e = 0     →    x = 4   ist Schnittstelle der WT mit der x-Achse

 Der gesuchte Flächeninhalt ist also  

₀∫² f(x) dx  + ₂∫⁴ w(x) dx  = ...   ,  deine Stammfunktion F(x) ist richtig

Kontrolllösung:  A = e - e^{-1}  ≈  2.35

Gruß Wolfgang