(c) Um die Position der Punkte \(z(\lambda_1,\lambda_2)=\lambda_1 z_1 + \lambda_3 z_3\) mit \(\lambda_1, \lambda_2 \in[0,1]\) und \(\lambda_1+\lambda_3=1\) zu finden, forme die Gleichung etwas um. Es ist
$$z=\lambda_1 z_1 + \lambda_3 z_3=\lambda_1 z_1 + (1-\lambda_1) z_3=z_3 + \lambda_1(z_1-z_3)$$
Sind \(z_1\) und \(z_3\) Positionen in der Gaußschen Zahlenebene, so ist obige Gleichung eine Gerade in eben dieser Ebene. Der Stützvektor ist \(z_3\) und der Richtungsvektor ist \(z_1-z_3\).
Und da sich der freie Parameter \(\lambda_1\) nur im Intervall \([0,1]\) bewegt, ist die Menge aller \(z\) in diesem Fall nur der grüne Pfeil - bzw. die Strecke mit den Enden \(z_3\) und \(z_1\).
(e) im zweidimensionale geht es analog.
$$z= \lambda_1z_1 + \lambda_2 z_2 + \lambda_3 z_3=(1-\lambda_2-\lambda_3) z_1 + \lambda_2z_2+\lambda_3 z_3$$
$$\space = z_1 + \lambda_2(z_2-z_1) + \lambda_3(z_3-z_1)$$
auch diese Gleichung sollte Dir aus der Vektorrechnung bekannt vorkommen. Es ist die Parameterform einer Ebene.
Und da bei bei beiden freien Parameter nur Werte >0 gemeint sind, befinden sich hier alle \(z\)-Werte zwischen den Pfeilen im Bereich des blau markierten Winkels. Die Forderung, dass ihre Summe 1 nicht überschreiten darf, führt dann zu einem Dreieck, innerhalb dem diese Werte liegen können.
Das kennt man auch als baryzentrische Koordinaten.
(d)+(f) Ich habe oben in der Skizze auch einen möglichen Konvergenzkreis eingezeichnet (blau). Jeder Punkt auf einer Verbindungsstrecke zweier Punkte innerhalb des Kreises liegt zwangsläufgig wieder innerhalb des Kreises. Wenn die Funktion für die Werte \(z_i\) konvergiert und alle Werte innerhalb eines Konvergenzkreises konvergieren, so müssen auch alle Funktionen mit Werten von \(z\) konvergieren, die auf einer Verbindungsstrecke zwishen zwei konvergierenden Werten liegen.
Also lassen sich die Fragen in (d) und (f) jeweils mit 'Ja' beantworten.
