Muss man beim Induktionsbeweis im Induktionsschritt unbedingt die Annahme verwenden?

Question

Im Induktionsschritt habe ich die Annahme nicht benutzt und durch Umformungen eine wahre Aussage erhalten. Zählt es dann trotzdem als bewiesen?

Answer 1

Die Frage ist dann halt, welches "es" du bewiesen hast.

Normalerweise wird vollständige Induktion benutzt um unendlich viele Behauptungen auf einmal zu beweisen. Wenn du das sonst irgendwie geschafft hast, hast du im besten Fall alle diese unendlich vielen Behauptungen bewiesen aber keinen Induktionsbeweis gemacht.

Comments

Sei z.B 1/(3^n) < 1/(2^n)

IA: n=1

1/3^1 = 1/3 < 1/2 = 1/2^1 OK

IV: Es gibt ein n aus den natürlichen Zahlen, sodass gilt: 1/(3^n) < 1/(2^n)

IS: zu zeigen: 1/(3^{n+1}) < 1/(2^{n+1})

los:

1/(3^{n+1}) < 1/(2^{n+1}) | Beide Seiten mit Nenner multiplizieren

2^{n+1} < 3^{n+1} | Beide Seiten n+1te Wurzel ziehen

2 < 3 also bewiesen?

Bitte nur sagen ob das als Beweis reicht. Habe mir diese Aufgabe bezüglich meiner Hausaufgaben ausgedacht.

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Du hast nun die Behauptung "  1/(3ⁿ) < 1/(2ⁿ)  für alle n Element N " mit Dingen bewiesen, die dir intuitiv klar sind, wie z.B. hier eine Behauptung für unendlich viele Wurzeln auf ein mal: 

2ⁿ⁺¹ < 3ⁿ⁺¹ | Beide Seiten n+1te Wurzel ziehen

2 < 3 also bewiesen?

Diese Behauptung für unendlich viele Wurzeln müsstest du jetzt streng genommen noch mit vollständiger Induktion oder sonst irgendwie zeigen. 

Wenn die Aufgabe nicht unter dem Titel vollständige Induktion gestellt wurde, ist das schon ok. Sie zeigt aber, dass Beweise, die man aus dem Vorlesungszusammenhang herausreisst eigentlich sinnlos sind. Es muss eine Basis von Annahmen geben und von dort aus wird dann der Rest bewiesen. Sonst hängt am Schluss alles in der Luft. 

Statt eines Induktionsbeweises kannst du direkt 

1/(3ⁿ) < 1/(2ⁿ) so "beweisen", wie du es im Induktionsschritt für 1/(3ⁿ⁺¹) < 1/(2ⁿ⁺¹) gemacht hast. 

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1/3^n < 1/2^n

1/3^n / (1/2^n) < 1

(1/3 / (1/2))^n < 1

(2/3)^n < 1

für n ∈ N+

2/3 < 1

erfüllt.

Das ist jetzt ein direkter Beweis und keiner über vollständige Induktion.

Natürlich sind direkte Beweise in der Mathematik auch möglich und erwünscht. Man kann sie halt nur nicht immer so einfach führen.

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Perfekt.

Du gehst bei jedem Schritt davon aus, dass klar ist, dass er für alle n ∈ N+ korrekt ist. 

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Es ging hauptsächlich um das Majorantenkriterium und ich wollte meine Majorante mit der Induktion beweisen.

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"Es ging hauptsächlich um das Majorantenkriterium und ich wollte meine Majorante mit der Induktion beweisen."

Ich denke da solltest du noch mal in dich gehen und genau darüber nachdenken was du eigentlich beweisen willst.

Schau eventuell nochmal in deinen Unternagen nach. Das Mayorandenkriterium hat erstmal nichts damit zu tun, wenn du eine Gleichung beweisen möchtest.

Das Mayorandenkriterium wird beim abschätzen von Reihen benutzt.

Wirf also nicht einfach irgendwelche Begriffe wie vollständige Induktion, Mayorandenkriterium und sowas in einen Topf und rühr dann kräftig drin herum. Da kommt dann vermutlich nichts sinnvolles heraus.

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@MC : Dein Kommentar wird dem vorherigen vermutlich nicht gerecht.

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Hast du eine Majorante gesehen? Kann natürlich sein das ich da nicht genau genug hingesehen habe.

Du meinst er sucht zu 1/3^n eine Majorante und will dort 1/2^n benutzen und das zeigen. Ok das könnte sein. Aber das eine hat mit dem anderen ja erstmal nichts zu tun.

Aus welchem Grund man 1/3^n < 1/2^n erstmal beweisen will ist für den eigentlichen Beweis ja erstmal völlig egal.

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Die Aufgabe verlangt, dass ich eine Majorante finde. Damit ist es aber nicht getan. Ich will nun mit der Induktion beweisen, dass das Majorantenkriterium für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt.

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Wie gesagt. Wofür du das machen willst ist erstmal völlig unwichtig. Es spielt ja keine Rolle für den Beweis wofür du es machen willst. Ob es gefordert ist oder ob du das nur aus Lust und Spaß machst.