f'(1) mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen. usw. f(x) = x^2

Question

p52

Wie löst man das?

y'(x)= 2x?

Brauche hilfe hierzu

Vielen Dank

Answer 1

Hallo immai,

a)

f(x) = x² 

Ableitung mit Differenzenquotient:

f ' (1)  =  lim_x→1  \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)   =   lim_x→1  \(\frac{x^2-1}{x-1}\)  =  lim_x→1  \(\frac{(x-1)·(x+1)}{x-1}\) 

                                                     =    lim_x→1 (x+1) = 2

mit Potenzregel:

f '(x) = 2x   →  f '(1) = 2

b) 

Bei "abschnittsweise definierten" Funktionen berechnet man an der Nahtstelle die einseitigen Grenwerte :

lim_x→0-  \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)  =  lim_x→0-  \(\frac{x-0}{x}\)  = 1

lim_x→0+  \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)  =  lim_x→0+  \(\frac{tan(x)-0}{x}\) =  lim_x→0+  \(\frac{tan(x)}{x}\) 

                    = lim_x→0+  \(\frac{sin(x)/cos(x)}{x}\)  = lim_x→0+  [ \(\frac{sin(x)}{x}\) · \(\frac{1}{cos(x)}\) ]  = 1 * 1 = 1

      [ lim_x→0 \(\frac{sin(x)}{x}\)  =_Hospital  =  lim_x→0 \(\frac{cos(x)}{1}\) = 1 ist ein bekannter Grenzwert ]

links- und rechtsseitger Grenwert des Differenzenquotienten stimmen also überein

→   f ' (0)  =   lim_x→0 \(\frac{tan(x)-tan(0))}{x-0}\)  =  1 

Gruß Wolfgang

 

Comments

Vielen Dank :)

War sehr hilfreich :)