Um diese Integrale lösen zu können, benutzen wir folgende Regeln:
Potenzregel
Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion. $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
Faktorregel
Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden. $$\int c\cdot f(x)dx=c\cdot \int f(x)dx$$
Summen- /Differenzregel
Das (un)bestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der (un)bestimmten Integrale. $$\int \left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$
Partielle Integration $$\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx$$
Integration durch Substitution $$\int f(x)dx=\int f(\phi (u))\cdot \phi'(u)du$$
Beim ersten Integral wenden wir zum Beispiel die Integration durch Substitution an. Wir setzen 2x+4=u und lösen nach x auf. $$2x+4=u \Rightarrow 2z=u-4 \Rightarrow x=\frac{u}{2}-2 \Rightarrow \phi (u)=\frac{u}{2}-2$$
Wir leiten die Funktion φ ab und bekommen $$\phi'(u)=\left(\frac{u}{2}-2\right)'=\frac{1}{2}$$
Wir ersetzen die Integrationsvariable $$dx=\phi'(u)du \Rightarrow dx=\frac{1}{2}du$$
Wir bekommen also folgendes: $$\int \sqrt{2x+4}dx=\int \sqrt{u}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}$$ Wir müssen noch rücksubstituieren und bekommen: $$\int \sqrt{2x+4}dx=\frac{1}{3}\left(2x+4\right)^{\frac{3}{2}}$$
