Aloha :)
Beim Ableiten einer Potenz \(x^n\) multiplizierst du mit dem alten Exponenten und verminderst ihn danach um Eins, das heißt:\(\quad x^n\mapsto n\cdot x^{n-1}\)
Beim Integrieren machst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge. Du erhöhst den Exponenten um Eins und dividierst danach durch den neuen Exponenenten:\(\quad x^n\mapsto\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
Das wendest du hier nun an:
$$\int (ax^2+6x)\,dx=a\,\frac{x^3}{3}+6\,\frac{x^2}{2}+C=\frac a3\,x^3+3x^2+C$$$$\int 3x^{-2}\,dx=3\,\frac{x^{-1}}{-1}+C=-3\,x^{-1}+C=-\frac{3}{x}+C$$$$\int6\sqrt x\,dx=\int6\,x^{\frac12}\,dx=6\,\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C=6\cdot\frac23\cdot x^{\frac32}+C=4x\sqrt x+C$$$$\int3\sqrt x\,dx=\frac12\int6\sqrt x\,dx=2x\sqrt x+C$$
