Berechnen sie die unbestimmten integrale der Exponentialfunktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die unbestimmten integrale

a) \(\displaystyle \int 2^{x}\,\text{d}x\)

Ist meine Lösung: \(2^{x} / \ln(2) + C\) so richtig?

Und b) \(\displaystyle \int 4^{2x}\,\text{d}x\)

Meine Lösung; \(4^{2x} / \ln(4) + C\)

Problem:

Habe ich es richtig ausgerechnet ?

Answer 1

a) stimmt. Bei b) stimmt der Nenner nicht.

Mach bei solchen auch selbst die Probe, durch Ableiten. Dann siehst Du nicht nur, ob es stimmt, sondern oft auch, was korrigiert werden muss damit es stimmt.

Zu b) noch: Potenzrechenregeln beachten. Dann geht es wie a).

Comments

Dann müsste es 8x / ln(2) sein stimmt’s?

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8x sicherlich nicht im Zähler. Hast Du die Probe gemacht? Ergebnis? Hast Du die Potenzrechenregel richtig angewendet?

Answer 2

Aloha :)

Allgemein würde ich hier zunächst die Stammfunktionen zu \(a^x\) bestimmen:$$F(x)=\int a^xdx=\int e^{x\ln a}\,dx=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C=\frac{a^x}{\ln a}+C$$Dann sind die beiden anderen Stammfunktionen direkt klar:$$f(x)=2^x\implies F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$$$$f(x)=4^{2x}=(4^2)^x=16^x\implies F(x)=\frac{16^x}{\ln16}+C=\frac{4^{2x}}{\ln16}+C$$

Deine Lösung zu Teil (a) ist also korrekt, bei Teil (b) hast du das Quadrat nicht richtig verarbeitet.

Answer 3

Wenn du 2^x ableitest, ergibt sich F(x) von selbst.

2^x - > 2^x*ln2

ln2 ist eine Konstante, die beim Ableiten von F(x) verschwinden muss.

-> F(x) = 2^x/ln2 +C

b) 4^(2x) = (4^2)^x = 16^x

-> F(x) =16^x/ln16 +C = 4^(2x)/ln4^2 +C = 4^(2x)/(2*ln4)

Allgemein:

f(x) = a^x -> F(x) = a^x/lna +C