Nutzenfunktion Cobb-Douglas maximieren

Question

Aufgabe:

Anhand einer Cobb-Douglas Nutzenfunktion, soll das Haushaltsoptimum bestimmt werden.

Die Nutzenfunktion lautet: u = 2x₁³ * x₂²

Budget: 300 €, Preis für Gut 1 = 7 €, Preis für Gut 2 = 3 €.

Problem/Ansatz:

Ich stehe gerade völlig auf dem Schlauch. Mir ist bekannt, dass zunächst nach X1 und dann nach X2 abgeleitet werden muss, aber ich komme nicht auf das richtige Ergebnis der Gütermengen im Konsumoptimum.

Könnte mir bitte jemand helfen ? :)

Danke

Comments

Hast Du schon mal etwas von Lagrange-Methode gehört?

Oder, hier nur indirekt wichtig, von Charles Wiggins Cobb und Paul Howard Douglas... die haben ihre Funktion gefunden bei einem Deutschen, der aufgefallen war mit einer Dissertation unter dem Titel „Der isolirte Staat in Beziehung auf Landwirthschaft und Nationalökonomie, oder Untersuchungen über den Einfluss, den die Getreidepreise, der Reichthum des Bodens und die Abgaben auf den Ackerbau ausüben“... ein Ökonom halt.

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habe ich, aber noch nicht damit gearbeitet.

Also ich bin wie folgt vorgegangen:

u = 2*x1³*x2²

u'x1/u'x2 = p1/p2

6*x1² * x2² / 2*x1³ * 2*x2 = 7 / 3

So, und ab dem Punkt, egal wie ich rechne, rechne ich falsch und ich finde meinen Fehler nicht...

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Deine Notation ist schwierig zu verstehen. Du solltest Exponenten hoch- und Indices tiefstellen. Und es fehlen Klammern.

Answer 1

Da Du noch nichts mit Lagrange gemacht hast, versuche ich es so:

Die Nebenbedingung 7x₁ + 3x₂ = 300 kann man umwandeln zu x₂ = -7/3x₁ + 100

Die Nutzenfunktion wird dann zu u = 2x₁³ * (-7/3x₁ + 100)²
= 98/9 x₁⁵ - 2800/3 x₁⁴ + 20000 x₁³ mit Maximum bei x₁ = 180/7

Aus x₂ = -7/3x₁ + 100 folgt das Maximum bei x₂ = 40.