Homogenitätsgrad der Cobb-Douglas-Funktion

Question

hallo :) ich habe 2 unterschiedliche Lösungen für den Homogenitätsgrad der Cobb Douglas Funktion, und frage mich nun, was stimmt, oder woher die Unterschiede kommen

in Mikro haben wir es so gelöst:

u(x1, x2) = Ax₁^∝ x₂^β

λ^α+β * u(x1,x2)

also u(x1,x2) ist homogen vom Grad α+β

in Makro hatten wir aber eine andere Lösung

da hatten wir

F(Kt, Nt)=K_t^∝N_t^1-∝

als Funktion

nachdem wir es gelöst haben, hatten wir

 λ*F(Kt,Nt)

als Lösung und somit gesagt, dass der Homogenitätsgrad d. Funktion 1 ist

woher kommen die Unterschiede? ich merke ja, dass sogar die Funktionen anders aussehen. Aber wenn ich jetzt nach den Homogenitätsgrad gefragt werden soll, was antworte ich?

Answer 1

Bei

        \(u(x_1,x_2) = Ax_1^\alpha x_2^\beta\)

ist

  \(\begin{aligned}&u(\lambda x_1,\lambda x_2) \\=\,& A\cdot(\lambda x_1)^\alpha (\lambda x_2)^\beta \\=\,& A\lambda^\alpha x_1^\alpha \lambda^\beta x^\beta \\=\,& \lambda^{\alpha}\lambda^\beta A x_1^\alpha x_2^\beta\\=\,& \lambda^{\alpha+\beta}u(x_1,x_2)\text{.}\end{aligned}\)

Bei

        \(F(K_t, N_t)=K_t^\alpha N_t^{1-\alpha}\)

ist

  \(\begin{aligned}&F(\lambda K_t,\lambda N_t) \\=\,& (\lambda K_t)^\alpha (\lambda N_t)^{1-\alpha}  \\=\,& \lambda^\alpha K_t^\alpha \lambda^{1-\alpha} N_t^{1-\alpha}  \\=\,& \lambda^{\alpha+(1-\alpha)}K_t^\alpha N_t^{1-\alpha}\\=\,& \lambda^1 F(K_t,N_t)\text{.}\end{aligned} \)

woher kommen die Unterschiede?

Welche Unterschiede meinst du?

Comments

.1. warum die funktionen unterschiedlich sind

2. warum einmal homogenitätsgrad von 1 und dann von alpha+beta

also klar wegen der unterechiedlichen funktion aber wie kann das sein dass die cobb douglas funktion 2 unterechiedlice homogenitätsgraden hat?

also wie gesagt was wenn man allgemein nach den homogenitätsgrad. d. cobb douglas funktion gefragt wird?

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warum einmal homogenitätsgrad von 1 und dann von alpha+beta

In \(F(K_t, N_t)=K_t^\alpha N_t^{1-\alpha}\) ist \(\beta = 1-\alpha\).

Also ist \(\alpha + \beta = \alpha + (1-\alpha)\).