Ermittle die unbestimmten Integrale

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \int \frac{1}{1+x^{2}} d x \)

Problem/Ansatz:

Hey Leute, könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

Comments

Auszug aus einer Integraltabelle:

Answer 1

Das ist ein Standard-Integral:

https://www.integralrechner.de/

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen#Trigonometrische_Funktionen

Comments

Muss man solche Integrale nur auswendig lernen oder wie?

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Ja oder nachschlagen.

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Ich denke, der Sinn der Aufgaben war es, das Integral tatsächlich 1-mal zu berechnen. Einfach nur \(\arctan(x)\) hinzuschreiben, dürfte dem Leerer nicht reichen.

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Was würdest Du hier unter "Berechnen" verstehen?

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Ich denke, der Sinn der Aufgaben war es, das Integral tatsächlich 1-mal zu berechnen. Einfach nur \(\arctan(x)\) hinzuschreiben, dürfte dem Leerer nicht reichen.

Ich finde diesen Kommentar reichlich überheblich. Die dahinter steckende sehr exotische Substitution wird ein Normalsterblicher niemals finden.

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@abakus:

Das ist nicht dein Ernst, oder? Das kann man doch im Kopf berechnen.

Mit der Substitution$$x=\tan u\implies \frac{dx}{du}=1+\tan^2u$$folgt das Integral sofort:$$\small\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\int\frac{1}{1+\tan^2u}\cdot(1+\tan^2u)\,du=u+C=\arctan(x)+C$$

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Ich bleibe dabei: Wenn man diese Substitution nicht kennt, wird das nichts,

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dürfte dem Leerer nicht reichen

Womöglich ist die "Aufgabe" selbstgemacht

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Das Problem ist: Wie kommt man auf 1/(1+tan^2u) ?

Woher soll man wissen, dass das etwas mit dem arctan zu hat, wenn man keine Erfahrung damit hat?

Den arctan kennt man in der Schule nur als Umkehrfkt.

tanφ = a

φ = arctan a

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@ Tschakakumba: Das ist doch ein Witz: Wenn F Stsmmfunktion von f ist, führt die Substitution u=F(x) zur "Lösung"

$$\int f(x)dx=F(x)$$

Answer 2

Hallo

sieh dir die Ableitung von arctan(x) an!

lul