Wie lautet der Rechenweg um die Umkehrfunktion zu f(x) = 1 - (1/10)·x zu erstellen?

Question

Wenn die Aufgabe kommt eine Umkehrfunktion zu bilden, welchen Rechenweg muss ich machen?

Beispielsweise ist folgende Funktionsgleichung gegeben:

$$ f ( x ) = 1 - \frac { 1 } { 10 } x $$

Ich soll davon die Umkehrfunktion bilden.

Mein Lehrer hat gesagt, es könnte auch sein, dass er die Umkehrfunktion angibt und man dann diese "umkehren" muss.

f(x) heißt im Endeffekt ja nichts anderes als y.

Und um die Umkehrfunktion zu bilden, muss ich die Gleichung nach x auflösen, oder?

Vielleicht könnt ihr mir Tipps geben, wie ich an die Aufgabe rangehe wenn es heißt, dass ich die Umkehrfunktion bilden soll.

Im Übungsteil der Aufgaben habe ich gar solche Aufgabe gefunden und ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich mit einer Bruchgleichung umgehen soll, obwohl ich in Bruchrechnung eigentlich ganz fit bin:

$$ f ( x ) = \frac { 1 - \frac { 1 } { 10 } x } { 1 + \frac { 1 } { 5 } x } $$

Ihr habt mir bisher immer sehr gut geholfen, ich bin auch dieses Mal sehr dankbar!

Answer 1

Das ist im Prinzip schon richtig, du musst die Gleichung nach x auflösen, das kann bloß hin und wieder ein bisschen schwierig (manchmal sogar elementar unmöglich) sein.

 

Ich rechne dir mal die beiden Aufgaben vor.
Und da das einfach übersichtlicher ist, ersetze ich überall das f(x) durch ein y.

 

a) y = 1-1/10 * x   | + 1/10x

y + 1/10 * x = 1     | - y

1/10*x = 1-y         | * 10

x = 10-10y

f^-1(y) = 10-10y

 

b) y = (1-1/10 x)/(1+1/5 x)

(Weils einfach schöner aussieht, ersetze ich hier die Brüche durch ihre Dezimalzahlen, also 1/10=0.1 und 1/5=0.2

y = (1-0.1x)/(1+0.2x)  | * (1+0.2x)

y*(1+0.2x) = 1 - 0.1 x

y+0.2*xy = 1-0.1x     |-y + 0.1x

0.2xy + 0.1x = 1-y     | x Ausklammern

x(0.2y+0.1) = 1-y     | : (0.2y+0.1)

x = (1-y)/(0.2y+0.1)

f^-1(y) = (1-y)/(0.2y+0.1)

Comments

Sehr gut vielen Dank!
Den Rechenweg habe ich verstanden.

Aber was mir noch Schwierigkeiten macht ist die Reihenfolge, wann man wie welchen Rechenschritt macht.

Vielleicht kann mir das noch mal jemand erklären.
Gibt es da irgendwie eine "Faustregel"? Oder muss ich da einfach von Aufgabe zu Aufgabe selbst drauf kommen, welcher Rechenschritt wann sinnvoll ist?

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1. Vereinfachen

2. Wenn zwei X Terme vorhanden sind, eine Eliminieren durch kürzen

3. Nach x Auflösen

Answer 2

Noch ein Tipp zum Thema Umkehrfunktion:

Bei einer eineindeutigen Funktion wird jedem x genau ein y sowie jedem y genau ein x zugeordnet. In diesem Fall ist eine Umkehrung möglich.

Grafisch entspricht die Umkehrfunktion einer Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden (45°) bzw. am Graphen f(x) = x.

Für die 1. Aufgabe ergibt sich (lineare Graphen):

 

Für die 2. Aufgabe ergibt sich (Asymptoten):

Hier bitte aufpassen: Die 2 Senkrechten Linien ignorieren, der Plotter zeichnet sie zwar, es handelt sich jedoch um die Definitionslücken x = -5 bzw. y = -0,5 bei der Umkehrfunktion. Bei diesen Werten erhalten wir im Bruch eine Division durch Null, also ein nicht definiert.