(n) (n)
a) Sei n∈ℕ beliebig mit n>0. Sei k∈ℕ beliebig mit k<n. Dann gilt (k) = (n-k).
Kommt drauf an wie ihr das definiert habt.
Vielleicht so (n) = n! / ( k! * (n-k)! )
(k)
Dann wäre ja (n) = n! / ( (n-k)! * ( n-(n-k))! )
(n-k)
und das zweite formst du nur ein wenig um:
n! / ( (n-k)! * ( n-(n-k))! ) = n! / ( (n-k)! * k! )
und das ist offenbar das gleiche wie das erste.
Bei b) wäre zu zeigen
n! / ( k! * (n-k)! ) = (n-1)! / ( (k-1)! * (n-1-(k-1))! ) + (n-1)! / ( k! * (n-1-k)! )
<=> n! / ( k! * (n-k)! ) = (n-1)! / ( (k-1)! * (n-k)! ) + (n-1)! / ( k! * (n-1-k)! )
auf der rechten Seite die Brüche auf einen gem. Nenner bringen durch
Erweitern des ersten mit k und den zweiten (n-k) gibt
<=> n! / ( k! * (n-k)! ) = k*(n-1)! / ( k* (k-1)! * (n-k)! ) + (n-k) (n-1)! / ( k! * (n-1-k)!(n-k) )
<=> n! / ( k! * (n-k)! ) = k*(n-1)! / ( k! * (n-k)! ) + (n-k) (n-1)! / ( k! * (n-k)! )
Jetzt haben alle den gleichen Nenner und du musst nur prüfen , ob gilt
<=> n! = k*(n-1)! + (n-k) (n-1)!
<=> n! = k*(n-1)! + n* (n-1)! - k* (n-1)!
<=> n! = n* (n-1)! Passt !