Teilmengen: Beweisen Sie: Sei n∈ℕ beliebig mit n>0. Sei k∈ℕ beliebig mit k<n...

Question

                                                                                                         (n)      (n)
a) Sei n∈ℕ beliebig mit n>0. Sei k∈ℕ beliebig mit k<n. Dann gilt     (k) =  (n-k).

                                                                                                                  (n)     (n-1)     (n-1)
b) Sei n∈ℕ beliebig mit n > 1. Sei k∈ℕ beliebig mit 0 < k < n. Dann gilt    (k) =  (k-1) +    (k)

c) Sei M eine endliche, nicht-leere Menge. Dann ist die Anzahl der Teilmengen mit gerader Mächtigkeit

gleich der Anzahl der Teilmengen mit ungerader Mächtigkeit.

Hinweis: Alle Teilaufgaben können durch Umformung bewiesen werden. Um c) zu beweisen, kann man

Mengen mit einer ungeraden Anzahl und mit einer geraden Anzahl von Elementen getrennt betrachten. Für

den ungeraden Fall kann a) benutzt werden, und für den geraden Fall kann b) benutzt werden.

Comments

Hallo sna:

Bezahlt dich jemand für die Eingabe all dieser Aufgaben?

Wenn du gar keine von denen selbst beantworten kannst, verstehst du auch keine der Antworten.

Beginne besser mit der Repetition des Schulstoffs. Hier versäumst du zu viel Zeit mit tippen.

Anfangen sollest du mit Theorie zu

https://www.mathelounge.de/448046/zeichnen-sie-den-graphen-der-folgenden-funktionen-2x%C2%B2-25-5x 

und

https://www.mathelounge.de/448045/vereinfachen-sie-wenn-moglich-1-10-7-8-7-80-5 

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Hallo Lu,

nein ich werde dafür nicht bezahlt, dies sind nur ein Teil der Aufgaben, die ich jede Woche abgeben muss. Ich brauche zu den einen Denkanstoß, da ich selber nicht auf die Lösungen komme, wenn ich aber die Antworten, oder Teilantworten habe, verstehe ich wie es geht und kann dies nachvollziehen.

Answer 1

                                                                                                          (n)      (n)
a) Sei n∈ℕ beliebig mit n>0. Sei k∈ℕ beliebig mit k<n. Dann gilt     (k) =  (n-k).

Kommt drauf an wie ihr das definiert habt.

Vielleicht so  (n)      =     n!  /   (  k! * (n-k)!  )
                     (k)

Dann wäre ja (n)         =    n!  /   (  (n-k)! * ( n-(n-k))! )
                     (n-k)

und das zweite formst du nur ein wenig um:

n!  /   (  (n-k)! * ( n-(n-k))! ) =  n!  /   (  (n-k)! * k! )

und das ist offenbar das gleiche wie das erste.

Bei b) wäre zu zeigen 

    n!  /   (  k! * (n-k)!  )   =       (n-1)!  /   (  (k-1)! * (n-1-(k-1))!  )     +       (n-1)!  /   (  k! * (n-1-k)!  )

<=> n!  /   (  k! * (n-k)!  )   =       (n-1)!  /   (  (k-1)! * (n-k)!  )     +       (n-1)!  /   (  k! * (n-1-k)!  )

auf der rechten Seite die Brüche auf einen gem. Nenner bringen durch
Erweitern des ersten mit k und den zweiten (n-k) gibt

<=> n!  /   (  k! * (n-k)!  )   =       k*(n-1)!  /   ( k* (k-1)! * (n-k)!  )     +      (n-k) (n-1)!  /   (  k! * (n-1-k)!(n-k)  )

<=> n!  /   (  k! * (n-k)!  )   =       k*(n-1)!  /   ( k! * (n-k)!  )     +      (n-k) (n-1)!  /   (  k! * (n-k)!  )

Jetzt haben alle den gleichen Nenner und du musst nur prüfen , ob gilt


<=> n!    =       k*(n-1)!     +      (n-k) (n-1)! 


<=> n!    =       k*(n-1)!     +      n* (n-1)!  - k* (n-1)!

<=> n!    =        n* (n-1)!      Passt !