Graph ganzrationalen f vom Grad 3 ist punktsymetr zum Urspr, geht durch P(1|2) u. hat für x=1 eine waagerechte Tangente

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, geht durch P(1|2) und hat für x=1 eine waagerechte Tangente.

1. Wie bestimme ich hier die Funktion f(x) =?

2. Wie lautet die 1. Ableitung? Welchen Exponenten hat das x?

3. Wo schneidet die Gleichung die x-Achse?

4. Wie viele Hochpunkte besitzt die Funktion? Wie viele Tiefpunkte?

5. Gibt es einen Wendepunkt?

Bitte um Hilfe, ich komme nicht weiter :( / und wenn es nicht zu viel verlangt ist dann bitte ich um kurze Erklärung

Answer 1

er Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung --> f(x) = ax^3 + bx

geht durch P(1|2) --> f(1) = 2

und hat für x=1 eine waagerechte Tangente. --> f'(1) = 0

Du stellst durch die Bedingungen die Gleichungen auf

f(1) = 2 --> a + b = 2

f'(1) = 0 --> 3·a + b = 0

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten: a = -1 ∧ b = 3

Damit stellen wir dann die Funktion auf

f(x) = -x^3 + 3x

Jetzt machen wir eventuell noch eine Probe ob unsere Funktion tatsächlich alle Bedingungen wie beschrieben erfüllt.

Answer 2

2. Die erste Ableitung lautet f'(x) = -3x² + 3
3. Du setzt die Funktionsgleichung = 0 und löst nach x auf. In diesem Fall sind es drei Nullstellen bei -√3, 0 und √3
4. Um diese Punkte zu ermitteln, setzt du die erste Ableitung = 0 und löst nach x auf.
    Ergebnis: Extremstellen bei -1 (Tiefpunkt) und 1 (Hochpunkt).
5. Ja, im Ursprung, den f''(0) = 0 und f'''(0) ≠ 0

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