Bestimmung einer Parabel dritten Grades - Geht durch Ursprung, Hat bei x=1 Wendepunkt

Question

Das Problem ist, dass ich die Aufgabe auf zwei drei verschiedene Arten angefangen habe, aber nie zu einer Lösung kam, beim ersten Versuch habe ich die Inforamtionen auf die Form a = -b/3a zb gebraucht und da konnte ich keine Zahlen einsetzen und jetzt habe ich neue Überlegungen angestellt und komme auch nicht weiter als auf zwei Gleichungen bei 3 unbekannten.

Aufgabenstellung
Eine Parabel dritten Grades, die durch den Ursprung geht, hat bei x=1 einen Wendepunkt und bei x=1 ist die Wendetangente y=-2x+4

Funktion
f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

Da sie durch den Ursprung geht, ist d = 0
also erhalte ich folgende Konstellation:

f(x) =  ax^{3} + bx^{2} + cx
f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

Ich habe ab hier immernoch drei Unbekannte, a, b, c

Ich verwerte noch die zweite Information, die Wendestelle bei x = 1 

f''(x) = 0 v f'''(x) ≠ 0

Was bedeutet das? 

Wenn ich die zweite Ableitung nullsetze und zuerst nach x auflöse, dann weiss ich, dass das x in der zweiten Ableitung x=1 ist

0 = 6a(1) + 2b
i. 0 = 6a + 2b

Was weiss ich noch ?

Es gibt eine Tangente im Wendepunk: y= -2x + 4
Und das ist nichts anderes, als die 1. Ableitung an der Stelle x=1


0 = 3a(1)^{2} + 2b(1) + c
ii. 0 = 3a + 2b +c


Weiter komme ich nicht. 

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Answer 1

Die wendetangente y=-2x+4 liefert dir zwei Informationen, die du bisher beide noch nicht oder nicht richtig verwendet hast. Zum einen bekommst du f'(1)=-2 und zum anderen liefert die wendetangente auch einen weiteren Punkt, nämlich f(1)=-2*1+4=2. Wenn du diese beiden Informationen noch dazu nimmst hast du insgesamt 4 Informationen und solltest die 4 koeffizienten bestimmen können.

Comments

Danke für die erklärung jetzt ist mir wirklich alles klar! Und vor allem weiss ich jetz was ich übersehen habe. !

die Steigung der Tamgente -2

Ist die Erste Ableitung von f(x)

-2 = 3a + 2b + c

Weiter kann ich sagen, dass - weil sich die Parabel und die Wendetangente im Punkt x=1 berühren - sie in diesem Punkt den identischen Y-Wert haben. Die Parabel kenne ich noch nicht, also setze ich x=1 einfach in die Wendetangente ein.

2 = -2+4, folglich:

2 = 3a + 2b + c

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Ganz genau, sehr gut!

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Andere Frage, 

Die Aufgabenstellung verrät, dass es einen Wendepunkt bei x=1 hat. Meine Frage ist, wie setze ich diese Information um? 

Was weiss ich?

1.) Ich weiss was eine Gleichung ist :)

x+x+x+x = 4x
links = rechts

2.) Wendepunkt Bedingung:

f"(x) = 0 ∨ f'''(x) ≠ 0

Also sage ich, dass Nullsetzen bedeutet in meinem Fall, dass wenn ich - wie es in der Aufgabenstellung heisst - für x=1 einsetze ist die Aussage 0 = 6ax + 2b wahr.

Was schreibe ich, wie Setze ich diese Information korrekt um ?

Sage ich, 

0 = 6a(1) + 2b
0 = 6a + 2b

Sage ich,

0 = 6ax + 2b
-2b = 6ax
-2b/6a = -b/3a = x I x=1

⇒ 1 = -b/3a

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Beide Wege sind richtig. Die beiden Gleichungen die du ausgerechnet hast sind identisch.

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Vielen Dank,

Die zweite Variante wäre einfach dann im Gleichungssystem aufzulösen ein tick komplizierter denke ich.

Answer 2

Was weiss ich noch ? 

Es gibt eine Tangente im Wendepunk: y= -2x + 4 
Und das ist nichts anderes, als die 1. Ableitung an der Stelle x=1 


0 = 3a(1)² + 2b(1) + c 
ii. 0 = 3a + 2b +c 


Weiter komme ich nicht.  

Der Wendepunkt liegt auch auf der Wendetangente. Daher kennst du die Koordinaten von W und kannst sie nutzen. 

Comments

Vielen vielen Damk, ich schätze die Hilfe sehr, und ich erhalte also f(1) bzw. den Y-Wert von x=1 indem ich das x in die Wendetangente einsetze.

y=-2(1)+4 

y=2

-> P ( 1 | 2 )

Answer 3

Eine Parabel dritten Grades, die durch den Ursprung geht, hat bei x=1 einen Wendepunkt und bei x=1 ist die Wendetangente t(x)=-2x+4 

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(0) = 0
f(1) = t(1)
f'(1) = t'(1)
f''(1) = 0

d = 0
a + b + c + d = 2
3·a + 2·b + c = -2
6·a + 2·b = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte a = 4 ∧ b = -12 ∧ c = 10 ∧ d = 0

Damit lautet die Funtion

f(x) = 4·x^3 - 12·x^2 + 10·x

Comments

Ich wäre nicht darauf gelommen, dass ich eben die steigung im Punkt x=1 aus der Wendetangente lesen kann

Und damit sagen kann dass

f'(x) = -2

Und

f(1) = 2