Kurvendiskussion der Funktionenschar: f_(a)(x) = ax^2 + a^2 x, a>0.

Question

Gegeben ist die Schar f_a(x)=ax² plus a²x, a>0.

a) Berechnen sie die Nullstellen von f_a 

b) Wo liegt der Tiefpunkt von fa? Auf welcher Kurve liegen alle Tiefpunkte der Kurvenschar?

c) Welche der Graphen der Schar fa sind rechts abgebildet?

d) Für welches a hat der Tiefpunkt von fa die Ordinate y=-2?

e) Für welches a schneidet der Graph von fa die x-Achse im Ursprung mit dem Winkel alpha=45grad?

f) Welche beiden Graphen der Schar schneiden sich im Punkt S(-3;6)?

g) Skizzieren sie den Graphen einer Funktion F, die durch den Ursprung geht und deren Ableitung dir Scharfunktion f2 ist.

Answer 1

Lösung:

 

a) Berechnen sie die Nullstellen von fa.

 

fa(x) = a·x^2 + a^2·x = a·x·(x + a) = 0 --> x = -a ∨ x = 0

 

b) Wo liegt der Tiefpunkt von fa? Auf welcher Kurve liegen alle Tiefpunkte der Kurvenschar?

 

fa'(x) = 2·a·x + a^2 = a·(2·x + a) = 0 --> x = - 1/2·a

fa(- 1/2·a) = - 1/4·a^3 --> TP (- 1/2·a | - 1/4·a^3)

 

2·a·x + a^2 = a·(2·x + a) = 0 --> a = - 2·x

y = a·x^2 + a^2·x = (- 2·x)·x^2 + (- 2·x)^2·x = 2·x^3

 

c) Welche der Graphen der Schar fa sind rechts abgebildet?

 

Keine :)

 

d) Für welches a hat der Tiefpunkt von fa die Ordinate y = -2?

 

TP (- 1/2·a | - 1/4·a^3)

- 1/4·a^3 = - 2 --> a = 2

 

e) Für welches a schneidet der Graph von fa die x-Achse im Ursprung mit dem Winkel α = 45°?

 

a^2 = 1 --> a = ±1

 

f) Welche beiden Graphen der Schar schneiden sich im Punkt S(-3 | 6)?

 

fa(-3) = 6

9·a - 3·a^2 = 6 --> a = 1 ∨ a = 2

 

g) Skizzieren sie den Graphen einer Funktion F, die durch den Ursprung geht und deren Ableitung die Scharfunktion f2 ist.

 

fa(x) = a·x^2 + a^2·x

f2(x) = 2·x^2 + 4·x

F(x) = 2/3·x^3 + 2·x^2

Comments

d)        - 1/4·a³ = -2    [  statt  - 1/2·a  = - 2  ]

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Vielen Dank für die Korrektur. 

Ja die Abszisse ist die x-Achse und die Ordinate die y-Achse.

Dabei kann man sich das so einfach merken. A kommt vor O wie x vor y.

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Vor allem, wenn in der Frage  Ordinate y=-2  steht 

Es ist richtig erleichternd, dass dir sowas manchmal auch passiert :-) 

Answer 2

Hallo HR,

f_a(x) = ax² +  a²x              , a>0.

a) Nullstellen

ax² +  a²x = 0   ⇔  ax * (x + a) = 0 

  x₁ = 0   ; x₂ = - a    (Nullproduktsatz)

b) Tiefpunkt

f_a'(x) = 2ax + a²  = 0    ⇔  x = - a/2     

f(- a/2 )   = - a^3/4         ergibt     T( - a/2  |   - a^3/4 )

c)   Bild fehlt

d)

- a^3/4  = -2   →    a = 2 

e) 

f '(0) =  a²  =  tan(45°)  = 1    ⇔  a = ± 1  

f) 

f_a(-3) = 6  ⇔  9·a - 3·a^2 = 6   

Normalform, pq-Formel

....

a₁  = 2  ;  a₂  = 1

g)

f₂(x) = 2x^2 + 4x 

Stammfunktion:  F(x) = 2/3 x³ + 2 x²  

Gruß Wolfgang

Comments

vielen dank dass ihr beiden euch die mühe gemacht habt mir zu helfen, aber lieder verstehe ich eure Lösungen ohne lösungsweh nicht ...

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Eigentlich stehen in den Antworten Lösungswege :-)

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aber nicht mit so vielen zwischen schritten ...