Fourierkoeffizient (a_k) bestimmen - Integralrechnung

Question

 Die Funktion ist sin^4(2x)

Zwei von drei Koeffizienten habe ich bestimmt nun beim letzten weiß ich nicht wie ich integrieren soll.

Ich muss folgenden Koeffizienten a_k bestimmen:

$$ \frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \pi  }{ { sin }^{ 4 }(2t)coskt\quad dt } $$

Da die Funktion gerade ist ergibt sich b_k=0 und nach meiner Rechnung für a₀= 3/8.

Answer 1

alternativ Lösung:

die zu entwickelnde Funktion ist eine trigonometrische Funktion, daher die Entwicklung bricht nach endlicher Reichweite ab.

Nutze trigonometrische Zusammenhänge um

Sin^4(2x)=3/8-1/2 cos(4x)+1/8 COS(8x)

zu zeigen. Jetzt kannst du alle Koeffizienten direkt ablesen.

Comments

Vielen Dank;

habe es nun geschafft die ganzen Integrale zu berechnen und die Koeffizienten zu bestimmen. Dies hat aber sehr viel Schreibarbeit gebraucht. Ganz zu Anfang der Aufgabe kam ich auch auf den Zusammenhang Sin⁴(2x)=3/8-1/2 cos(4x)+1/8 COS(8x), wusste jedoch nicht, dass ich hier die ganzen Koeffizienten ablesen kann. 

Wie erkenne ich wann ich die Koeffizienten direkt ablesen kann? Gibt es hierfür eine bestimmte Methode?

Answer 2

$$ a_k = \frac{768 \cdot \sin( \pi k )}{\pi \cdot ( k^5 - 80 k^3 + 1024 k) }   $$

Der Nenner hat 5 Nullstellen bei \( k = -8, -4, 0 , 4 , 8 \)

Ausser für diese Zahlen ist auch \( a_k = 0 \)

Ansonsten gilt

\( a_0 = \frac{3}{4} \), \( a_4 = -\frac{1}{2} \) und \( a_8 = \frac{1}{8} \)

\( b_k = 0 \) wegen der Symmetrie fon \( f(t) \)