Produktion von Elektromotoren. Deckungsbeitrag verbessern?

Question

Das Unternehmen stellt zwei Typen von Elektromotoren her, pro Monat 200 Stück des Modells M1 mit einem Deckungsbeitrag von 300 pro Stück (Preis 1000, variable Kosten 700) und 900 Stück des neuen Modells M2 mit einem Deckungsbeitrag von 400 (Preis 1200, variable Kosten 800) pro Stück.

Die Abteilungen haben folgende Kapazitäten:

	M1	M2	Ungleichung
\hline Dreherei / Fräserei	2000	1000	\( x_{1}+2 x_{2} \leq 2000 \)
Stanzerei	2500	2500	\( x_{1}+x_{2} \leq 2500 \)
Spulenwicklerei	1600	2400	\( x_{1}+2 / 3 x_{2} \leq 1600 \)
Endmontage M1	1500		\( x_{1} \leq 1500 \)
Endmontage M2		900	\( x_{2} \leq 900 \)
Nichtnegativitätsbedingungen			\( x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \)

Die Endmontage des Modells M2 mit dem höheren Deckungsbeitrag ist mit dem gegenwärtigen Produktionsprogramm voll ausgelastet, ebenso die Abteilung Dreherei / Fräserei.

Fragen:

Sind überhaupt noch Optimierungen möglich? Welche Abteilungen werden dann voll ausgelastet sein? Wie hoch ist der Deckungsbeitrag heute, wie hoch ist er unter dem optimalen Produktionsprogramm? Zeichnen Sie die beiden Produktionsprogramme im Koordinatensystem ein.

Answer 1

Simplex-Algorithmus liefert x₁ = 1400, x₂ = 300. Das ergibt einen Deckungsbeitrag von 540 000 im Gegensatz zu 420 000 mit dem derzeitigen Produktionsprogram. Ausgelastet werden dann Dreherei/Fräserei und Spulenwicklerei.

Comments

Zusatzfrage: Die Abteilung Dreherei/Fräserei scheint ein Engpass zu sein. Ein anderes Unternehmen stellt sich für Lohnarbeit in diesem Bereich zur Verfügung, in unbeschränkter Menge. Wie hoch sind die akzeptablen Preisobergrenzen pro Stück extern bearbeitetem M1 und pro Stück extern bearbeitetem M2? Die eigene Abteilung Dreherei/Fräserei hat variable Kosten von 50 für ein M1 und 100 für ein M2.

---

Ich versuche es mal mit dem dualen Problem: Anstatt so zu produzieren, dass ein möglichst hoher Deckungsbeitrag im Rahmen der vorhandenen Kapazitäten erzielt wird, kann man versuchen, diese Kapazitäten so billig wie möglich einzukaufen, so dass dieselben Produktdeckungsbeiträge erzielt werden.

 

Aus 200 * x₁ + 900 * x₂ maximieren wird

 

2000 * y₁ + 2500 * y₂ + 1600 * y₃ + 1500 * y₄ + 900 * y₅ minimieren, unter den Nebenbedingungen

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 300

2y₁ + y₂ + 2/3 y₃ + y₅ ≥ 400

 

Die Lösung ergibt wiederum einen Deckungsbeitrag von 540 000, bei variablen Kosten von 150 pro hergestelltem M1 in der Dreherei / Fräserei.

Answer 2

Da doch ohnehin die Produktionsprogramme in ein Koordinatensystem gezeichnet werden sollen bietet es sich doch an mal die Restriktionen und die Iso-DB-Geraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen.

x ist die Produktionsmenge x1 und y ist die Produktionsmenge x2.

Die beiden Produktionsprogramme wurden mit einem Punkt gekennzeichnet.

Comments

Dann sieht man auch gleich, welche Abteilungen an der Kapazitätsgrenze sind.

---

Das sieht man bei Simplex zwar auch aber nicht so schön grafisch.

Man kann hier aber leichter sehen, das die Dreherei/Fräserei ausgebaut werden sollte um den DB wesentlich zu erhöhen. Der Ausbau der Spulenwicklerrei hätte keinen großen Erfolg, weil dann die Endmontage von x1 limitiert.

Grundsätzlich werden Aufgaben mit 2 Veränderlichen wie hier als Einführungsaufgaben benutzt und diese dann grafisch gelöst.

Gerade die Aufforderung im Text es in ein Koordinatensystem zu zeichnen legt daher nahe, das es ohne Simplex bearbeitet werden soll.

Schon ab 3 Unbekannten ist das grafisch aber kaum machbar. Dort kommt dann meist das Simplex-Tableau zum Einsatz.

---

Zusatzfrage: Die Abteilung Dreherei/Fräserei scheint ein Engpass zu sein. Ein anderes Unternehmen stellt sich für Lohnarbeit in diesem Bereich zur Verfügung, in unbeschränkter Menge. Wie hoch sind die akzeptablen Preisobergrenzen pro Stück extern bearbeitetem M1 und pro Stück extern bearbeitetem M2?

---

"Zusatzfrage: Die Abteilung Dreherei/Fräserei scheint ein Engpass zu sein. Ein anderes Unternehmen stellt sich für Lohnarbeit in diesem Bereich zur Verfügung, in unbeschränkter Menge. Wie hoch sind die akzeptablen Preisobergrenzen pro Stück extern bearbeitetem M1 und pro Stück extern bearbeitetem M2? "

Du sollst hier nur sagen welchen DB eine Zusätzliche Einheit M1 bzw. M2 bringen würde. Du sollst hier sicher vereinfacht davon ausgehen das sich der DB nicht ändert, was ja eigentlich unlogisch ist, da bei einer Externen Dreherei/Fräserei sicher unsere variablen Kosten auch sinken würden. Aber für Schüler wird das gerne alles vereinfacht.

Achte darauf, dass wenn du ein Stück extern drehen lässt, wir dann trotzdem eine Limitierung der Spulenwicklerei haben. 

---

Hmm die Zusatzfrage ist unvollständig, sehe ich gerade. Die eigene Abteilung Dreherei/Fräserei hat variable Kosten von 50 für ein M1 und 100 für ein M2.

---

Mathecoach habe bei der anderen Antwort mal selber etwas probiert, vielleicht magst Du Dich dort äussern.