Mittlere Änderungsraten? Was ist das?

Question

Gegeben ist die Aufgabe:

Eine Regentonne von 100cm Höhe und 60cm Durchmesser wird durch eine Ablassöffnung entleert. Die Höhe h des Wasserstandes in der Tonne kann durch die Funktion mit h(t)=1/16t^2 - 5t + 100 modellhaft beschrieben werden, dabei ist t der zeitraum seit beginn der Lesung in Minuten, h(t) die Höhe des Wasserstandes in cm.

a) Erstelle eine Tabelle mit 8 Wertepaaren 0 < (größer gleich) t < (größer gleich) 30 und begründe, in welchem Intervall dies sinnvoll ist?

b) Nach welcher Zeitspanne steht das Wasser 68cm hoch, wann ist das Wasser komplett ausgelaufen?

c) Wie viel Wasser läuft in den ersten zehn Minuten, wie viel während der letzen zehn Minuten jeweils durchschnittlich pro Minute ab? Wie viel läuft in der letzten Minute ab?

Wie kann ich das alles bestimmen? Wir haben Mittlere Änderungsraten noch nicht behandelt, sollen dies aber für die Arbeit nächste Woche können. Unser Lehrer meinte, dass das nicht so schwer sei, und wir uns das selber beibrigen könnten. Könntet ihr mir weiterhelfen ggf. auch eine genaue Erläuterung, wie ich das mache, was ich mache... usw? 

Ich danke Euch!! :)

Answer 1

Hallo Mathematiker,

die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte, die momentane Änderungsrate ist die Steigung in einem Punkt. Du brauchst also nur die Koordinaten zweier Punkte, und teilst die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte.

zu a)

Die Wertetabelle kannst du sicher selbst erstellen. Sinn macht sie in dem Intervall von 0 bis 40, Da der Scheitelpunkt der Parabel bei x = 40 = Nullstelle liegt und die Tonne dann leer ist.

zu b)

Du setzt die Funktionsgleichung gleich 68 und löst nach x auf. Ergebnis = 7, also ist der Wasserstand nach 7 min 68 cm hoch. Die Tonne ist, wie schon erwähnt, nach 40 min leer.

zu c)

Du nimmst die Punkte B (0|100) und C (10|56,25) und bildest, wie eingangs erwähnt, den Differenzquotienten:

$$m = \frac{ 56,25-100 }{ 0-10 } = -4,38$$

Also laufen in den ersten 10 min 4,38 l ab. Für die anderen beiden Abschnitte gehst du genauso vor.