Vektoren, prüfe ob drei Punkte auf einer Ebene liegen

Question

folgende Frage zu folgender Aufgabe:

"In einem kartesischen Koordinatensystem des R³ sind 3 Punkte A(1/5/-2), B(11/0/-2), C(5/8/-2) gegeben. Zeige, dass diese 3 Punkte auf einer Ebene und nicht etwa auf einer Geraden liegen.

AB =   11-1 = 10       AC =     5-1 = 4
             0-5 = -5                    8-5 = 3
          -2-(-2)= 0                -2-(-2) = 0

Da sich die Vektoren nicht als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lassen, sind diese Linear Unabhängig, was darauf schließen lässt, dass diese auch nicht auf einer Ebene sind.

Aufgabe so richtig und ausreichend beantwortet?

Comments

was darauf schließen lässt, dass diese auch nicht auf einer Ebene sind.

Wie kommst du denn auf sowas? Drei Punkte liegen immer gemeinsam auf einer oder mehreren Ebenen.

Answer 1

Du hast richtig die Richtungsvektoren AB und AC berechnet. Du hast erkannt, dass diese linear unabhängig sind. Daraus folgt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Weiterhin weiß man das drei Punkte die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig eine Ebene definieren.

Daher lautet eine Ebenengleichung

E: X = [1, 5, -2] + r * [10, -5, 0] + s * [4, 3, 0]

Ein Normalenvektor ist

n = [0, 0, 1]

Damit lautet die Koordinatenform der Ebene

E: z = -2

Answer 2

Würde eher so formulieren:

Da keiner der Vektoren AB und AC ein Vielfaches des anderen ist, sind diese Linear Unabhängig, was darauf schließen lässt, dass die

drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine Ebene eindeutig festlegen.

Answer 3

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,  bestimmen eine Ebene eindeutig. Daher ist die Frage zu beantworten, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Für diese Antwort findet man zunächst die Gerade durch A und B und prüft dann, ob C die Gleichung der Geraden AB erfüllt.