Darstellungsmatrix Hintereinanderausführung in gleichem Vektorraum

Question

wie berechnet man die Darstellungsmatrix der Komposition von drei linearen Abbildungen? Die linearen Abbildungen liegen alle im selben Vektorraum.

Ich dachte mir man berechnet die Darstellungsmatrix jeder linearen Abbildung (also 3 Darstellungsmatrizen) bzgl. der Basen und multipliziert diese von links nach rechts. Jedoch kommt da nicht das gewünschte Ergebnis raus.

Answer 1

> die Darstellungsmatrix

Die Spalten der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

Dabei ist es unerheblilch, ob die lineare Abbildung als Komposition von drei anderen linearen Abbildungen vorliegt, oder ob die lineare Abbildung auf irgend eine andere Art und Weise beschrieben wurde. Bestimme die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren, packe die in Spaltenvetoren und füge die Spaltenvetoren zu einer Matix zusammen.

> und multipliziert diese von links nach rechts

Was meinst du mit "von links nach rechts multiplizieren"? Multiplikation hat keine "Richtung".

Gegeben sind drei lineare Abbildungen f, g, h mit Darstellungmatrizen M_f, M_g, M_h. Die Darstellungsmatrix der Komposition k: x↦f(g(h(x))) ist dann M_f · M_g · M_h.

Answer 2

Hallo ii,

f_A o f_B o f_C  (x) = f_A ( f_B ( f_C  (x) ))  = A * (B * (C * x)) = (A * B * C) * x

Die Matrix der in der Komposition  zuerst  angewendeten Abbildung muss also im Matrizenprodukt  hinten  stehen, weil bei der Matrizenmultiplikation kein Kommutativgesetz gilt.

Gruß Wolfgang