Taylorreihe von g(x)=(-3)/(1+x^2) an der Stelle x0=0

Question

könnt Ihr bei folgender Aufgabe mir helfen?

Entwickle eine Taylorreihe von ℝ→ℝ $$g(x)=\frac { -3 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

an der Entwicklungsstelle x₀=0

Hinweis: Geometrische Reihe falls |x|<1

Ich weiß nicht wie mir die geometrische Reihe bei der Entwicklung der Taylorreihe hielfen soll.

MFG Jack

Answer 1

$$\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\cdots$$

Auf die Idee, \(q=-x^2\) zu setzen, koennte man eigentlich kommen.

Comments

Danke, daraus folgt doch dann =>

 $$\frac { -3 }{ 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { a }{ 1-b(x-{ x }_{ 0 }) } \\ \Rightarrow \quad a(1+{ x }^{ 2 })=-3(1-b(0-{ x }_{ 0 }))\\ { x }_{ 0 }=0\quad \rightarrow \quad a=-3$$

Dann erhalte ich folgende Taylorreihe:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ a({ b }^{ n })\cdot (x-{ x }_{ 0 })^{ n }= } \sum _{ n=0 }^{ \infty  } -3({ -x) }^{ 2n }\cdot (x-0)^{ n } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  } (-1)^{ n+1 }\cdot (3x)^{ 2n+1 }$$

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$$\begin{aligned}\frac{-3}{1+x^2}&=&-3(1-x^2+x^4-x^6+-\cdots)\\ &=&-3+3x^2-3x^4+3x^6-+\cdots\\ &=&\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}3x^{2n}\end{aligned}$$