Substitution integral cos

Question

ich soll hier was substituieren und komm einfach nicht zurecht.

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

mit der Weierstraß-Substitution  t = tan(x/2)  erhält man erst einmal  mit trigonometrischen Umformungen

 sin(x) =  2t / (1+ t²)   sowie  cos(x) = (1 - t²) / (1 + t²)

                 https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Dreieckberechnung

       und dann

[ tan(x/2) ] '  =  dt / dx  = 1 / (1+cos(x))    →   dx  =  ( 1 + cos(x) ) *  dt

                    =  ( 1 + (1 - t²) / (1 + t²) ) * dt     =   ( (1+t² + 1 - t²) / (1+t²)  =  2 / (1+t²) * dt

           [ vgl. den oben schon genannten Link   

                        https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution  ] 

In  ∫ (1 + SIN(x)) / (SIN(x)·(1 + COS(x))) dx  eingesetzt  ergibt das

Jetzt kannst du die 2  und im Nenner den Term 1+t²  wegkürzen sowie die beiden Terme in den Klammern jeweils als Bruch schreiben. Das ergibt

     ∫  (  [ (1 + t² + 2t) / (1 + t²) ]  /  [ t * (1 + t² + 1 - t²) / (1+ t²) ]  dt

=   ∫ ( t² + 2t + 1 ) / (1 + t²)  *  (1 + t²) / (2t) )  dt          (Kürzen)

= ∫  (  t² + 2t + 1) / (2t)  dt  =  ∫  ( t/2 + 1 + 1 / (2t) )  dt   

=  t² / 4  + t  + ln(t) / 2 + c

Rücksubstitution:   ...  =   tan²(x/2) / 4  +   tan(x/2)  +  ln(tan(x)) / 2  +  c  

 [ Der (einfachste) Stammfunktionsterm von 1/x  ist ln(|x|), aber in (0,π/2) ist tan(x/2) > 0 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kommst du genau auf diese Umformung?:)

 sin(x) =  2t / (1+ t²)   sowie  cos(x) = (1 - t²) / (1 + t²)

---

Erst einmal sind die Formeln in der Formelsammlung in  "meinem"  1. Link  [2.7]    sehr glaubwürdig angegeben :-)

(Werde dir  später noch eine Herleitung posten. Dabei wird man aber wohl wieder trigonometrische Formeln benutzen müssen, die man auch nicht auf "Anhieb" einsieht.)

---

Wenn man nur  t = tan(x/2) ,

das Additionstheorem   cos(u+v) = cos(u)*cos(v) - sin(u)*sin(v)

und die bekannten Formeln

 tan(u) = sin(u) / cos (u)   und   sin²(u) + cos²(u) = 1

voraussetzt, geht das zum Beispiel so:

cos(2u)  =  cos(u+u)  =  cos²(u) - sin²(u)    (Additionstheorem)

   =  [ cos²(u) - sin²(u) ] / cos²(u)  *  cos²(u) / [ cos²(u) + sin²(u) ]     |    ( = 1! )  

            Beide Brüche durch cos²(u) kürzen mit  tan(u) = sin(u) / cos(u):

   =  [ 1 - tan²(u) ]   *   1 /  (1 + tan²(u) )

   =  (1 - tan²(u) )  / (1 + tan²(u) )

Mit   u = x/2  hat man dann

         cos(x) =  (1 - tan²(x/2) )  / (1 + tan²(x/2) )  =  (1 - t²) / (1 + t²)

-----

sin(x)  =  √( 1 - cos²(x) )  =  √ ( 1 -  (1 - t²)² / (1 + t²)² )

            =  √(  [ 1 + 2t² + t⁴ - ( 1 - 2t² + t⁴ ] / (1 + t²)²  )

            =   √(  [ 4t² ] / (1 + t²)  )  =  2t / (1 + t²)  

Answer 2

$$ t = \tan {x\over2} \iff x = 2 \arctan t $$

$$ \sin x = \sin \left( 2 \arctan t \right) = \sin \left(\arctan t + \arctan t \right) $$

Additionstheoreme:

$$ = 2 \sin(\arctan x) \cos(\arctan x) = 2 \sqrt{x^2 \over x^2+1}\sqrt{1 \over x^2+1} = {2x \over x^2+1} $$

Analog:

$$ \cos x = \dots $$

Grüße,

M.B.

Comments

Und die Formeln für  sin(arctan(x))  und  cos(arctan(x)) entnimmt man dann am besten der o.g. Formelsammlung, in der auch die Ausgangsformeln stehen, die eigentlich gezeigt werden sollen :-)

---

die Formeln für \( \sin(\arctan(x)) \)  und  \( \cos(\arctan(x)) \) kann man sich ganz primitiv selbst herleiten, wenn man überlegt, wie die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck definiert sind.

Grüße,

M.B.

Answer 3

Wenn einem selber nichts einfaellt, kann man immer noch nach Rezept kochen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraß-Substitution

Answer 4

substituiere

z= tan(x/2) , gemeint ist die  die Weierstraß - Substitution