Konvergenz von Reihen begründen.

Question

Ich habe hier zwei Aufgaben und bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind.
Konvergieren die Reihen? Begründen Sie argumentativ(Grenzwertberechnungen sind nicht notwendig)!

$$ 1) \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{n} \\2) \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{2}$$

1) Die Reihe divergiert, weil $$\left(\sqrt[n]{n}  \right)$$ keine Nullfolge ist, denn es ist $$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1.$$
2) Für alle $$n \geq 2$$ gilt $$\sqrt[n]{n} \geq  \sqrt[n]{2}.$$ Mit dem Minorantenkriterium folgt, dass $$\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{2}$$ divergiert.

Wäre das so in Ordnung?
Besten Dank im Voraus!

P.S. Sorry wegen der Zeilenumbrüche aber ich weiß nicht, wie ich eine Formel in einen Satz packen kann, ohne dass die Zeile umbricht.

Comments

Ich habe hier zwei Aufgaben und bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind.
Konvergieren die Reihen? Begründen Sie argumentativ(Grenzwertberechnungen sind nicht notwendig)!

$$ 1) \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{n} \\2) \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{2}$$

1) Die Reihe divergiert, weil $$\left(\sqrt[n]{n}  \right)$$ keine Nullfolge ist, denn es ist $$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1.$$
2) Für alle $$n \geq 2$$ gilt $$\sqrt[n]{n} \geq  \sqrt[n]{2}.$$ Mit dem Minorantenkriterium folgt, dass $$\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{2}$$ divergiert.

Wäre das so in Ordnung?
Besten Dank im Voraus!

P.S. Sorry wegen der Zeilenumbrüche aber ich weiß nicht, wie ich eine Formel in einen Satz packen kann, ohne dass die Zeile umbricht.

---

> ich weiß nicht, wie ich eine Formel in einen Satz packen kann, ohne dass die Zeile umbricht.

Verwende \( und \) anstatt $​$ und $​$.

---

EDIT: Habe Leerschläge zwischen oswalds Dollarzeichen gesetzt, da Doppeldollar ohne Abstand sofort zu einer Umwandlung führen.

@oswald: Du hattest: Verwende \( und \) anstatt $$ und $$.

War das so gemeint?

---

Ich habe die Leerschläge etwas kürzer gemacht :-)

---

Sehr gut! Wie hast du das hinbekommen?

---

Zero-width-space, in HTML ​

---

Danke für die Erklärung.

Answer 1

1) ist richtig.

2) ⁿ√n ist keine Minorante von ⁿ√2, deshalb darfst du die Divergenz von ∑ⁿ√2 nicht mit er Divergenz von ∑ⁿ√n begründen.