Begründen, ob die folgenden Reihen konvergent sind? Bsp. Σ ( (-2)^n / 5^n)

Question

Σ
1) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left( 1-\frac { { n }^{ 3 }-n-1 }{ { n }^{ 3 } }  \right)  } $$     kann mir jemand sagen wie ich hier vorgehen muss?? ich hab bei nenner den größten exponenten durch zähler geteilt und kam zu diesem ergebnis 
2)$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \frac { { (-2) }^{ n } }{ { 5 }^{ n } }  } } $$
  in der klausur habe ich das so gemacht: 1/ (1+2/5) mal (-2/5) und hatte -2/7 raus. das ergebnis ist hier richtig aber ich habe null punkte bekommen. in den lösungen wurde das so gemacht: -1+ 1/(1+2/5)  gleich -2/7. jetzt lautet meine frage woher die -1 kommt?? etwa wegen n=1???7
3) grenwzwert berechnen:   $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ n+1 }  } $$  wie muss ich hier vorgehen???

Comments

Hi,

es wäre schön wenn du die Aufgabenstellung klarer ausdrücken würdest.

Soll einfach nur die Konvergenz/Divergenz untersucht werden oder der Grenzwert berechnet werden (oder ist das für jede Aufgabe unterschiedlich)?

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1 und 2 konevregenz und 3 grenzwert

Answer 1

a) Reihe konvergiert (Majorantenkriterium/Quotientenkriterium)

b) Ja weil die Summe bei n = 1 beginnt.

c) Reihe divergiert (Quotientenkriterium)

Sollte noch nach was anderem gefragt sein beachte mein Kommentar.

Gruß

Comments

ok ich hab eine frage zu aufgabe zwei was wäre denn wenn das n=2 stünde oder n=0 müsste ich dann -2+1/(1+2/5) rechnen und bei 0 auch????

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Autsch wie kommst du denn auf so einen Zusammenhang -.-

Für \( |q| < 1\) gilt ja: \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \)

Außderm gilt ja offensichtlich: $$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} q^n =\left( \sum \limits_{k=0}^{\infty}q^n \right) - q^0 = \frac{1}{1-q} - 1$$

Deswegen die -1.

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verstehe ich nicht

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also muss da immer -1 hin???

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und bei aufgabe 1 gilt da die regel wenn vor der klammer ein minus steht ändersn sich die vorzeichen oder? weil wenn man 1 getetilt duch nhoch 2 sieht konvergiert das ehhh

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Wenn du dir mehr Mühe geben würdest und ausführlicher darstellen würdest was du sagen möchtest, könnte ich dich vielleicht auch verstehen.

Zu deinem 1. Kommentar -> Wenn ich weiß was der Wert einer Summe ist die bei n = 0  beginnt so muss ich das "0.te Glied" der Summe von diesem Wert abziehen damit ich weiß welchen Wert die Summe hat, wenn sie bei n = 1 beginnt. Das sollte dir aus der obigen Formel klar werden. Wenn die Summe bei n=2 beginnt muss ich natürlich nochmal das "1. Glied" der Summe abziehen!

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ok meine frage wird glaub ich hier präzier bei der aufgabe:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2*{ 3 }^{ n }-{ 2 }^{ n } }{ { 5 }^{ n } }  } =2mal\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ dann\quad die\quad geometrische\quad reihe\quad usw } $$

wenn zb n=1 wäre müsste ich dann 2mal -1 rechen?? und dann mit der geometrischen reihe

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Rechne doch mal weiter was du genau meinst (ja es kommt 2mal die -1 vor). Wenn du schon mit Sprache nicht weiterkommst zeigs mir in TeX ;)

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ok warten sie kurz : 2 mal 5/2-5/3 gelich 30/6 -10/6 gleich 10/3 :)))))

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aber was wenn n gleich 2 wäre oder drei müsste ich dann  auch 2*-1 rechnen

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...sowas soll man ernst nehmen?

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die aufgabe müsste richtig sein -.-

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Ja aber was hat das mit dem Fall Summe ab n=1 zu tun? Du hast einfach nur die geometrische Reihe berechnet.... Das du das kannst war mir schon klar!

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ok jetzt hab ichs verstanden muss ich das nur bei dem grenzwert betrachten?

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Nein das ist mal so und mal so aber meistens ist es eher so.