Bestimmen Sie den Grenzwert: lim (x --> 2) (√(2·x) - √(x + 2)) / (√(x + 4) - √(3·x))

Question

Bestimmen Sie den Grenzwert:

$$ \lim_{x\to2} \frac {\sqrt { -2x }-\sqrt { x+2 }}{ \sqrt { x+4}- \sqrt { 3x } } $$  Die Lösung ist: $$  -\frac {\sqrt { 6 }}{ 4 }  $$



Jetzt dachte ich mir, dass ich mit der L'Hospital Regel anfangen muss, weil 2 in x eingesetzt ja 0 ergibt.

dann muss ich wohl ableiten:


$$ \frac { -2{ x }^{ 0,5 }-{ (x+2) }^{ 0,5 } }{ { (x+4) }^{ 0,5 }- 3{ x }^{ 0,5 }} $$
$$ \frac { -1{ x }-{ 0,5(x+2) }^{ -0,5 } }{ { 0,5(x+4) }^{-0,5 }- 1,5{ x }} $$

Nochmal ableiten kann ich jetzt nicht, da 2 in x in der Ableitungsfunktion eingesetzt, nicht mehr 0 ergibt.

Aber wie geht es jetzt weiter ? Ist mein Ansatz so richitg ?

Grüße

Comments

$$ \lim_{x\to2} \frac {\sqrt { 2x }-\sqrt { x+2 }}{ \sqrt { x+4}- \sqrt { 3x } } $$

Ich sehe gerade, dass ich ein Minus zu viel eingetragen habe, die Funktion muss so heißen:

Answer 1

lim (x --> 2) (√(2·x) - √(x + 2)) / (√(x + 4) - √(3·x))

Gemäß 3. binomischen Formel erweitern

lim (x --> 2) (√(2·x) + √(x + 2))·(√(2·x) - √(x + 2)) / ((√(2·x) + √(x + 2))·(√(x + 4) - √(3·x)))

lim (x --> 2) x - 2 / ((√(2·x) + √(x + 2))·(√(x + 4) - √(3·x)))

lim (x --> 2) 1/(√(2·x) + √(x + 2)) · (x - 2) / (√(x + 4) - √(3·x))

lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2) / (√(x + 4) - √(3·x))

Gemäß 3. binomischen Formel erweitern

lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2)·(√(x + 4) + √(3·x)) / ((√(x + 4) + √(3·x))·(√(x + 4) - √(3·x)))

lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2)·(√(x + 4) + √(3·x)) / (4 - 2·x)

lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2)·(√(x + 4) + √(3·x)) / (-2·(x - 2))

lim (x --> 2) 1/4 · (√(x + 4) + √(3·x)) / (-2) = 1/4 · (√6 + √6) / (-2) = -√6/4

Comments

Danke, was ist der Grund, warum du hier die binomischen Formeln nimmst und nicht l'hospital zum Beispiel ?

Das Thema ist noch recht neu für mich.

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Wurzeln im Zähler und Nenner Ableiten wird meist nicht besser. Und das Zusammenfassen ist ein Graus.

Es kann natürlich sein, dass man mit Hospital schneller zum Ziel kommt.

Meistens führen ja mehrere Wege zum Ziel. Es steht dir selber frei den für dich leichtesten zu wählen. Es kann auch mal sein das man einen Weg einschlägt der nur noch mehr ins Dickicht führt anstatt ins Freie. Es ist nicht schlimm, wenn man merkt das man sich auf einem ungünstigen Weg befindet und dann einfach umkehrt. Diese Praxis kann in einer Arbeit nützlich sind.

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Danke, Ich bin nochmal deinen Lösungsweg durchgegangen, der ja auch richtig ist.

Nur verstehe ich noch nicht ganz, wie man die binomischen Formeln so anwendet, dass x-2 im Zähler rauskommt.

Bei mir kommt fälschlicherweise immer x+2 raus.

lim (x --> 2) (√(2·x) - √(x + 2)) / (√(x + 4) - √(3·x))

Jetzt wende ich die 3.binomische Formel an:

lim (x --> 2) (√(2·x) + √(x + 2))·(√(2·x) - √(x + 2)) / ((√(2·x) + √(x + 2))·(√(x + 4) - √(3·x)))

Soweit habe ich auch alles verstanden. Nur wie komme ich jetzt genau auf die
x-2 im Zähler ?

Denn 3. Binomische Formel ist (a² - b².) --> [√(2·x)]²- [√(x + 2)]² → 2x-x+2 = x+2 ?

Richtig ist doch aber lim (x --> 2) x - 2 / ((√(2·x) + √(x + 2))·(√(x + 4) - √(3·x)))

Später wendet man ja die binomische Formel nochmal an:

lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2) / (√(x + 4) - √(3·x))

Gemäß 3. binomischen Formel erweitern

 lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2)·(√(x + 4) + √(3·x)) / ((√(x + 4) + √(3·x))·(√(x + 4) - √(3·x)))

3. Binomische Formel ist (a² - b².) --> [√(x+4)]²+ [√(3x)]² → x+4-3x = -2x+4 hier scheine ich wieder richtig gerechnet zu haben, denn:

 lim (x --> 2) 1/4 · (x - 2)·(√(x + 4) + √(3·x)) / (4 - 2·x)

Wo liegt dann mein Fehler ?

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Deine Klammerung ist ungenügend und dadurch machst du Fehler.

(√(2·x) + √(x + 2))·(√(2·x) - √(x + 2))

= (√(2·x))^2 - (√(x + 2))^2

= (2·x) - (x + 2)

= 2·x - x - 2

= x - 2